Note_02_[开关变换器的建模与控制]_小信号基本建模法_Buck推导

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第一节书上只使用了基本建模方法对Boost电路进行了建模,但是我们自己补充一下对于Buck电路的基本建模方法推导,很多基本概念都在Note_01里面进行说明了,接下来直接使用结论.
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关键词:小信号建模;Buck传递函数

Note_02_小信号基本建模法_Buck推导

对于电感电压,电容电流会发生突变的状态量我们需要区分开关状态进行描述,下图为开关的两种不同状态

1. Mode1[0-DTs]

\(v_L(t) = \bar{v_g(t)} - \bar{v(t)}\)

\(i_C(t) = \bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R}\)

2. Mode2[DTs-Ts]

\(v_L(t) = -\bar{v(t)}\)

\(i_C(t) = \bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R}\)

3. 周期平均

\(\bar{v_L(t)} = d(t)(\bar{v_g(t)} - \bar{v(t)}) + d'(t)(-\bar{v(t)})\)

\(\bar{i_C(t)} = d(t)(\bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R}) + d'(t)(\bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R})\)

化简得到:

\(\bar{v_L(t)} = d(t)\bar{V_g(t)} - \bar{v(t)} = L\frac{\bar{i(t)}}{dt}\)

\(\bar{i_C(t)} = \bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R} = C\frac{\bar{v(t)}}{dt}\)

4. 分离扰动与线性化

\(L\frac{d(I+\hat{i(t)})}{dt} = (D+\hat{d(t)})(V_g+\hat{v_g(t)})-(V+\hat{v(t)})\)

\(C\frac{d(V+\hat{v(t)})}{dt} = I + \hat{i(t)} - \frac{V+\hat{v(t)}}{R}\)

去掉直流分量以及二次微小量后:

\(L\frac{d\hat{i(t)}}{dt} = D\hat{v_g(t)} + v_g\hat{d(t)}-\hat{v(t)}\)

\(C\frac{d\hat{v(t)}}{dt} = \hat{i(t)} - \frac{\hat{v(t)}}{R}\)

5. 推导传递函数

先将两个方程使用拉普拉斯变换转换为s域方程
\(sL\hat{i(s)} = D\hat{v_g(s)} + v_g\hat{d(s)}-\hat{v(s)}\)

\(sC\hat{v(s)} = \hat{i(s)} - \frac{\hat{v(s)}}{R}\)

求解传递函数 \(G_{vd}(s) = \frac{v(s)}{d(s)}|_{\hat{v_g(s)} = 0}\)

因此令上述两个方程中的 \(\hat{v_g(s)} = 0\), 且抵消掉方程的中 \(\hat{i(s)}\)

最后的到传递函数:\(G_{vd}(s) = \frac{v(s)}{d(s)}|_{\hat{v_g(s)} = 0} = \frac{v_g}{LCs^2+\frac{L}{R}s+1}\)