Note_01_[开关变换器的建模与控制]_小信号基本建模法_Boost推导

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这个系列文章均为读书笔记,课本名称:开关变换器的建模与控制(张卫平,2019)
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Note_01_[开关变换器的建模与控制]_小信号基本建模法_Boost推导

关键词:小信号建模;Boost传递函数

1. 概述

第一章介绍针对变换器CCM工作模式变换器建模引入

1. 基本建模法
2. 状态空间平均法
3. 开关器件平均模型法
4. 开关网络平均模型法

2. 小信号基本建模法

2.1 求平均变量

低频假设 : 如果交流小信号的频率 $f_g \ll f_s $, 那么则有对变量求一个周期内的平均可以滤除开关纹波带来的影响.

\(\bar{x(t)} = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}x(\tau)d\tau\)

小纹波假设 : 如果变换器转折频率 \(f_0 \ll f_s\), 那么高频开关纹波被大大衰减,远小于直流量与低频小信号之和,则可近似认为状态变量的平均值等于瞬时值.

\(\bar{x(t)} \approx x(t)\)

2.2 Boost实例

2.2.1 Boost平均变量

对于理想Boost来说,则对于电感电流与电容电压低频假设求平均:

\(\bar{i_L(t)} = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}i_L(\tau)d\tau\)

\(\bar{v_C(t)} = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}v_C(\tau)d\tau\)

同时满足小纹波假设:

$\bar{i_L(t)} =i_L(t) $

\(\bar{v_C(t)} = v_C(t)\)

同时对于输入电压也满足两种假设:
\(\bar{v_g(t)} = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}v_g(\tau)d\tau\)

\(\bar{v_g(t)} =v_g(t)\)

但是对于电感电压以及电容电流这类变量会在开关动作的时候发生突变,因此需要对于开关状态不同进行区别分析:

2.2.2 Mode1[0, D*Ts]

\(v_L(t) = L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t} = \bar{v_g(t)}\)

\(i_C(t) = C\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t} = -\frac{\bar{v(t)}}{R}\)

正负号由参考方向决定

2.2.3 Mode2[D*Ts, Ts]

\(v_L(t) = L\frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d} t} = \bar{v_g(t)} - \bar{v(t)}\)

\(i_C(t) = L\frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t} = \bar{i(t)} -\frac{\bar{v(t)}}{R}\)

2.2.4 合并分析

$v_L(t) = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}v_L(\tau)d\tau = \frac{1}{T_s}[\int_{0}^{DT_s}v_L(\tau)d\tau + \int_{DT_s}^{T_s}v_L(\tau)d\tau] $

\(v_L(t) = \frac{1}{T_s}[\int_{0}^{DT_s}\bar{v_g(\tau)}d\tau + \int_{DT_s}^{T_s}(\bar{v_g(\tau)}-\bar{v_o(t)})(\tau)d\tau]\)

同时认为 \(\bar{v_g(\tau)}, \bar{v_o(t)}\) 在开关周期内近似恒定,则可得式子①:

\(v_L(t) = d(t)\bar{v_g(t)} + d'(t)[\bar{v_g(t)}-\bar{v(t)}]\)
其中, d'(t) = 1 - d(t).

同时有
1: \(\bar{v_L(t)} = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}v_L(\tau)d\tau = \frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}L\frac{i(\tau)}{d\tau}d\tau = \frac{L}{T_s}\int_{0}^{T_s}di(\tau) = \frac{L}{T_s}[i(T_s) - i(0)]\)

2: \(L\frac{d}{dt}\bar{i(t)} = L\frac{d}{dt}\frac{1}{T_s}\int_{0}^{T_s}i(\tau)d\tau = \frac{L}{T_s}[i(T_s) - i(0)]\)

因此有式子②
\(\bar{v_L(t)} = L\frac{d\bar{i(t)}}{dt}\)

根据①②化简得到公式③:
\(L\frac{d\bar{i(t)}}{dt} = \bar{v_g(t)} + d'(t)\bar{v(t)}\)

同理得到公式④
\(C\frac{d\bar{v(t)}}{dt} = d'(t)\bar{i(t)} - \frac{\bar{v(t)}}{R}\)

2.3 分离扰动

2.3.1 小信号扰动

上面最终得到的两个微分方程显然是非线性,求解极其困难,此时的处理手段为寻找变换器的静态工作点,在静态工作点处进行线性化处理,则我们需要将直流分量与小信号分量分离开
\(\bar{x(t)} = X + \hat{x(t)}, 其中\hat{x(t)} = x_m(t)cos(w_gt)\).

将状态变量以及输入变量,控制量进行分解:
\(\bar{v_g(t)} = V_g + \hat{v_g(t)}\).

\(\bar{i(t)} = I + \hat{i(t)}\).

\(\bar{v(t)} = V + \hat{v(t)}\).

\(\bar{d(t)} = D + \hat{d(t)}\).

\(\bar{d'(t)} = D - \hat{d'(t)}\).

小信号假设:\(\hat{x(t)} \ll X\),交流分量幅值远远小于直流量.

2.3.2 小信号方程

将公式③④进行小信号展开

\(L(\frac{dI}{dt} + \frac{d\hat{i(t)}}{dt}) = (V_g-D'V) + (\hat{v_g(t)}-D'\hat{v(t)} + V\hat{d(t)}) + \hat{d(t)}\hat{v(t)}\)

\(C(\frac{dV}{dt} + \frac{d\hat{v(t)}}{dt}) = D'I-\frac{V}{R} + (D'\hat{i(t)} - \frac{\hat{v(t)}}{R} - I\hat{d(t)}) - \hat{d(t)}\hat{i(t)}\)

2.3.3 去直流与线性化

从式中可以看出存在二阶微小量以及直流分量,等式相等,两边直流量必然相等,因此两边同时去掉直流量稳态点,同时由于二阶微小项非线性且幅值极小,因此也可以将二阶项去掉,则有:
\(L\frac{dI}{dt} = V_g - D'V = 0\)

\(C\frac{dV}{dt} = D'I-\frac{V}{R} = 0\)

因为稳态,所以为零.得到

\(I = \frac{V}{RD'}\)

因此

\(I = \frac{V_g}{D'^2 R}\)

最终小信号方程为:
公式⑤ : \(L\frac{d\hat{i(t)}}{dt} = \hat{v_g(t)}-D'\hat{v(t)} + V\hat{d(t)}\)

公式⑥ : \(C\frac{d\hat{v(t)}}{dt} = D'\hat{i(t)} - \frac{\hat{v(t)}}{R} - I\hat{d(t)}\)

2.4 小信号等效电路及分析

2.4.1 拉普拉斯变换

将公式⑤⑥进行拉普拉斯变换
⑤中存在电感,电流为 \(\hat{i(t)}\), 存在独立电压源 \(\hat{v_g(t)}\), 受控电压源 \(D'\hat{v(t)}\), 以及由外界控制的独立电压源 \(V\hat{d(t)}\)
⑥中存在电容,电压为 \(\hat{v(t)}\), 受控电流源\(D'\hat{i(t)}\), 负载电阻R, 受外界控制独立电流源 \(I\hat{d(t)} = \frac{V_g}{D'^2 R}\hat{d(t)}\)

等效小信号电路如下:

显然两个受控源模型为变压器模型,因此将电路合并为变压器模型:

我们最终需要求解的传递函数为 \(G_{vd}(s) = \frac{\hat{v(s)}}{\hat{d(s)}}|_{\hat{v_g(s)}=0}\), 因此令图中$\hat{v_g(s)}=0 $.

2.4.2 等效电路计算

等效电路图如下:

使用叠加原理求解该电路:

1. 令电流源开路:
   \(V'_{o1} = -\frac{V_g\hat{d(s)}} {D'} \frac{D'^2(\frac{1}{sC}||R)} {sL+ D'^2(\frac{1}{sC}||R)}\)

2. 令电压源短路
   \(V'_{o2} = \frac{V_g\hat{d(s)}}{D'^3R}[sL||D'^2(\frac{1}{sC}||R)]\)

叠加后的输出为:

\(V'_{o} = V'_{o1} + V'_{o2}\)

最后实际电阻上的电压为

\(\hat{v(s)} = \frac{V'o}{D'}\)

因此得到传递函数

\(G_{vd}(s) = \frac{\hat{v(s)}}{\hat{d(s)}}|_{\hat{v_g(s)}=0} = V_g\frac{1-\frac{sL}{D'^2R}}{LCs^2+\frac{L}{R}s+D'^2}\)

电路的输入阻抗为:

\(Z_{in}(s) = \frac{\hat{v_g(s)}}{\hat{i(s)}}|_{\hat{d(s) = 0}} = sL + D'^2(\frac{1}{sC}||R)\)

电路输出阻抗为:

\(Z_{out}(s) = \frac{\hat{v(s)}}{\hat{i_o(s)}}|_{\hat{d(s) = 0,\hat{v_g(s)} = 0}} = sL || D'^2(\frac{1}{sC}||R)\)