威尔逊定理

测试一下

\[(A−1)!≡ −1 mod A \]

其中A为素数

1. 从代码中可以知道：

p=(B1!)%A1p=(B1!)%A1

q=(B2!)%A2q=(B2!)%A2

2. 又由[威尔逊定理]

(A−1)!≡ −1 mod

3. 而B=A-random.randint(1e3,1e5)，所以在B的前面补上

(A−1)(A−2)(A−3)...(B+1)

就有

(A−1)(A−2)(A−3)...(B+1)∗(B!)%A=−1

于是再整理一下又有

(A−2)(A−3)...(B+1)∗(B!)%A=1

这就意味这可由(A−2)(A−3)...(B+1)模A的逆元求得(B!)%A的值。
再取nextprime(sympy.ntheory.generate模块里的nextprime不是nextPrime)
即可得到p或q的值。

def get_p_q(A,B): 
       tmp = 1   # calculate remain value (mod A) of (A−1)(A−2)(A−3)...(B+1) 
       for i in range(B+1,A-1):
       
          tmp *= i 
          tmp %= A 
    tmp_inv = invert(tmp,A)
    result = nextprime(tmp_inv) 
    return result