📖 第87课:股票含冷冻期
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📖 第87课:股票含冷冻期
模块:动态规划 | 难度:Medium ⭐⭐
LeetCode 链接:https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/
前置知识:第71课(爬楼梯)、第73课(打家劫舍)、第65课(买卖股票最佳时机)
预计学习时间:30分钟
🎯 题目描述
给定一个整数数组 prices,其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易(多次买卖一支股票),但有以下限制:
- 卖出股票后,你无法在第二天买入股票(即冷冻期为 1 天)
- 你不能同时参与多笔交易(你必须在再次购买前出售掉之前的股票)
示例:
输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
买入 prices[0] = 1, 卖出 prices[1] = 2, 利润 = 1
冷冻期 prices[2] = 3 (不能买入)
买入 prices[3] = 0, 卖出 prices[4] = 2, 利润 = 2
总利润 = 1 + 2 = 3
约束条件:
- 1 ≤ prices.length ≤ 5000
- 0 ≤ prices[i] ≤ 1000
🧪 边界用例(面试必考)
| 用例类型 | 输入 | 期望输出 | 考察点 |
|---|---|---|---|
| 最小输入 | prices=[1] | 0 | 单天无法交易 |
| 单调递增 | prices=[1,2,3,4,5] | 4 | 一买一卖最优 |
| 单调递减 | prices=[5,4,3,2,1] | 0 | 不交易最优 |
| 含冷冻期影响 | prices=[1,2,3,0,2] | 3 | 需要跳过冷冻期 |
| 大规模 | n=5000 | — | 性能边界 |
💡 思路引导
生活化比喻
想象你是一个股票交易员,但公司有个奇怪的规定:每次卖出股票后,第二天必须休息一天(冷冻期),不能立即买入新股票。
🐌 笨办法:尝试所有可能的买卖组合,每次卖出后记得跳过一天,然后算出最大利润。这样的话,对于5天的股票价格,可能的组合数以指数级增长,计算量巨大。
🚀 聪明办法:每天只需要记录三种状态:
- 持有股票:手上有股票,今天不操作或今天买入
- 不持有且不在冷冻期:手上没股票,可以随时买入
- 刚卖出(冷冻期):今天刚卖出,明天不能买入
每天根据前一天的这三种状态,计算今天的最大利润。就像玩状态机游戏,从一个状态跳到另一个状态,最后看哪个状态的分数最高!
关键洞察
核心突破口:用状态机DP建模,每天只有"持有"、"不持有(可交易)"、"冷冻期"三种状态,状态之间按规则转移。
🧠 解题思维链
这一节模拟你在面试中"从零开始思考"的过程。
Step 1:理解题目 → 锁定输入输出
- 输入:整数数组 prices,表示每天的股票价格
- 输出:能获得的最大利润(整数)
- 限制:
- 卖出后必须冷冻1天才能再买入
- 不能同时持有多只股票
- 可以多次买卖
Step 2:先想笨办法(暴力法)
用回溯枚举所有可能的买卖方案:对每一天,选择"买入"、"卖出"或"什么都不做",然后递归计算后续天数的最大利润。
- 时间复杂度:O(3^n) — 每天3种选择,指数级爆炸
- 瓶颈在哪:大量重复计算,比如"第5天持有股票"这个状态可能被计算上千次
Step 3:瓶颈分析 → 优化方向
暴力法中,同样的"某一天+某种持有状态"被反复计算。比如:
- "第3天持有股票,花费10元" 这个状态,无论之前怎么操作到达这里,后续的最优策略都是一样的
- 核心问题:如何避免重复计算相同的子问题?
- 优化思路:用动态规划记录每天每种状态的最大利润
Step 4:选择武器
- 选用:状态机DP(Dynamic Programming with State Machine)
- 理由:
- 问题具有"最优子结构":今天的最优决策依赖于昨天的状态
- 存在"重叠子问题":相同的(天数,持有状态)会被重复访问
- 冷冻期限制可以建模为状态转移的约束条件
🔑 模式识别提示:当题目出现"多阶段决策 + 状态限制"时,优先考虑"状态机DP"
🔑 解法一:状态机DP — 三状态建模
思路
定义三种状态:
hold[i]:第 i 天结束时"持有股票"的最大利润sold[i]:第 i 天结束时"刚卖出(进入冷冻期)"的最大利润rest[i]:第 i 天结束时"不持有且不在冷冻期"的最大利润
状态转移:
hold[i] = max(hold[i-1], rest[i-1] - prices[i])— 要么昨天就持有,要么今天从rest状态买入sold[i] = hold[i-1] + prices[i]— 必须从持有状态卖出rest[i] = max(rest[i-1], sold[i-1])— 要么昨天就在rest,要么昨天卖出今天进入rest
图解过程
示例: prices = [1, 2, 3, 0, 2]
初始状态(第0天):
hold[0] = -1 (买入第0天股票,花费1元)
sold[0] = 0 (不可能卖出,无意义)
rest[0] = 0 (什么都不做)
第1天 (price=2):
hold[1] = max(hold[0], rest[0]-2) = max(-1, 0-2) = -1 (保持持有第0天买的)
sold[1] = hold[0] + 2 = -1 + 2 = 1 (卖出,利润1)
rest[1] = max(rest[0], sold[0]) = max(0, 0) = 0
第2天 (price=3):
hold[2] = max(hold[1], rest[1]-3) = max(-1, 0-3) = -1
sold[2] = hold[1] + 3 = -1 + 3 = 2
rest[2] = max(rest[1], sold[1]) = max(0, 1) = 1
第3天 (price=0):
hold[3] = max(hold[2], rest[2]-0) = max(-1, 1-0) = 1 (从rest买入,成本0)
sold[3] = hold[2] + 0 = -1 + 0 = -1
rest[3] = max(rest[2], sold[2]) = max(1, 2) = 2
第4天 (price=2):
hold[4] = max(hold[3], rest[3]-2) = max(1, 2-2) = 1
sold[4] = hold[3] + 2 = 1 + 2 = 3 (卖出,总利润3)
rest[4] = max(rest[3], sold[3]) = max(2, -1) = 2
最终答案 = max(sold[4], rest[4]) = max(3, 2) = 3
Python代码
from typing import List
def maxProfit(prices: List[int]) -> int:
"""
解法一:状态机DP — 三状态建模
思路:定义持有、卖出、休息三种状态,按规则转移
"""
if not prices or len(prices) < 2:
return 0
n = len(prices)
# 初始化三个状态数组
hold = [0] * n # 持有股票的最大利润
sold = [0] * n # 刚卖出(冷冻期)的最大利润
rest = [0] * n # 不持有且不在冷冻期的最大利润
# 第0天初始状态
hold[0] = -prices[0] # 买入第0天的股票
sold[0] = 0 # 第0天不能卖出
rest[0] = 0 # 第0天什么都不做
for i in range(1, n):
# 持有:要么昨天就持有,要么今天从rest买入
hold[i] = max(hold[i - 1], rest[i - 1] - prices[i])
# 卖出:必须从持有状态卖出
sold[i] = hold[i - 1] + prices[i]
# 休息:要么昨天就在rest,要么昨天卖出
rest[i] = max(rest[i - 1], sold[i - 1])
# 最后一天,取卖出或休息中的较大值
return max(sold[n - 1], rest[n - 1])
# ✅ 测试
print(maxProfit([1, 2, 3, 0, 2])) # 期望输出:3
print(maxProfit([1])) # 期望输出:0
print(maxProfit([1, 2, 4])) # 期望输出:3
复杂度分析
- 时间复杂度😮(n) — 遍历一次数组,每天做常数次状态转移
- 具体地说:如果输入规模 n=5000,大约需要 5000×3=15000 次操作
- 空间复杂度😮(n) — 需要三个长度为n的数组存储状态
优缺点
- ✅ 逻辑清晰,状态定义明确,易于理解和调试
- ✅ 时间O(n)已是最优,必须至少看一遍所有价格
- ❌ 空间O(n)可以优化,因为每天只依赖前一天的状态
🏆 解法二:状态机DP — 空间优化(最优解)
优化思路
观察状态转移方程,发现第 i 天的状态只依赖第 i-1 天,不需要保存所有天的历史状态。用三个变量代替三个数组,滚动更新。
💡 关键想法:DP数组可以压缩为O(1)空间,因为只需要"上一天"的状态
图解过程
滚动变量更新示例: prices = [1, 2, 3, 0, 2]
初始:
hold = -1, sold = 0, rest = 0
第1天: price=2
new_hold = max(-1, 0-2) = -1
new_sold = -1+2 = 1
new_rest = max(0, 0) = 0
更新: hold=-1, sold=1, rest=0
第2天: price=3
new_hold = max(-1, 0-3) = -1
new_sold = -1+3 = 2
new_rest = max(0, 1) = 1
更新: hold=-1, sold=2, rest=1
第3天: price=0
new_hold = max(-1, 1-0) = 1
new_sold = -1+0 = -1
new_rest = max(1, 2) = 2
更新: hold=1, sold=-1, rest=2
第4天: price=2
new_hold = max(1, 2-2) = 1
new_sold = 1+2 = 3
new_rest = max(2, -1) = 2
更新: hold=1, sold=3, rest=2
答案 = max(3, 2) = 3
Python代码
def maxProfit_optimized(prices: List[int]) -> int:
"""
解法二:状态机DP — 空间优化(最优解)
思路:用三个变量代替三个数组,滚动更新
"""
if not prices or len(prices) < 2:
return 0
# 用三个变量代替数组
hold = -prices[0] # 持有股票的最大利润
sold = 0 # 刚卖出的最大利润
rest = 0 # 休息状态的最大利润
for i in range(1, len(prices)):
# 注意:必须先保存旧值,因为更新顺序有依赖
new_hold = max(hold, rest - prices[i])
new_sold = hold + prices[i]
new_rest = max(rest, sold)
# 更新状态
hold = new_hold
sold = new_sold
rest = new_rest
# 最后一天,取卖出或休息中的较大值
return max(sold, rest)
# ✅ 测试
print(maxProfit_optimized([1, 2, 3, 0, 2])) # 期望输出:3
print(maxProfit_optimized([1])) # 期望输出:0
print(maxProfit_optimized([5, 4, 3, 2, 1])) # 期望输出:0
复杂度分析
- 时间复杂度😮(n) — 遍历一次数组
- 空间复杂度😮(1) — 只用3个变量
为什么是最优解
- ✅ 时间O(n)已达理论下限:必须至少看一遍所有价格才能做出决策
- ✅ 空间O(1)已达最优:不需要额外存储,只需常数个变量
- ✅ 代码简洁:逻辑清晰,面试中容易手写正确
🐍 Pythonic 写法
利用 Python 的多重赋值特性,一行更新所有状态:
def maxProfit_pythonic(prices: List[int]) -> int:
"""Pythonic 写法:利用多重赋值一行更新状态"""
if not prices or len(prices) < 2:
return 0
hold, sold, rest = -prices[0], 0, 0
for price in prices[1:]:
hold, sold, rest = (
max(hold, rest - price), # 新hold
hold + price, # 新sold
max(rest, sold) # 新rest
)
return max(sold, rest)
# ✅ 测试
print(maxProfit_pythonic([1, 2, 3, 0, 2])) # 期望输出:3
这个写法利用了 Python 的特性:
- 多重赋值:右边的表达式先全部计算完,再统一赋值给左边,避免了临时变量
- 代码更简洁:从10行压缩到5行,一目了然
⚠️ 面试建议:先写清晰版本展示思路,再提 Pythonic 写法展示语言功底。
面试官更看重你的思考过程,而非代码行数。
📊 解法对比
| 维度 | 解法一:三状态数组 | 🏆 解法二:空间优化(最优) |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n) | O(n) ← 理论最优 |
| 空间复杂度 | O(n) | O(1) ← 空间最优 |
| 代码难度 | 简单 | 简单 |
| 面试推荐 | ⭐⭐ | ⭐⭐⭐ ← 首选 |
| 适用场景 | 学习理解状态机逻辑 | 面试首选,生产环境 |
为什么是最优解:
- 时间O(n)已是理论下限(必须遍历所有价格)
- 空间从O(n)优化到O(1),提升巨大
- 代码依然简洁易懂,面试中容易写对
面试建议:
- 先画出状态转移图,说明三种状态及其转移规则
- 写出🏆最优解(空间优化版),展示对DP优化的理解
- 强调为什么是最优:时间空间都已达最优,无法再优化
- 手动模拟一个小示例,证明逻辑正确
🎤 面试现场
模拟面试中的完整对话流程,帮你练习"边想边说"。
面试官:请你解决一下这道股票买卖问题,注意有冷冻期限制。
你:(审题30秒)好的,这道题要求在有冷冻期的限制下,计算多次买卖股票的最大利润。让我先想一下...
我的第一个想法是用回溯枚举所有买卖方案,但时间复杂度是O(3^n),太慢了。
不过我注意到这个问题有"最优子结构"和"重叠子问题",可以用动态规划。关键是建立状态机模型:每天有三种状态 — 持有股票、刚卖出(冷冻期)、不持有且可交易。
我可以用三个变量滚动更新,时间O(n),空间O(1)。
面试官:很好,请写一下代码。
你:(边写边说)我定义三个状态变量:hold表示持有股票的最大利润,sold表示刚卖出的最大利润,rest表示休息状态。
初始化:第一天买入,hold=-prices[0],其他为0。
然后遍历每一天,更新三个状态:
- hold要么保持昨天的,要么今天从rest买入
- sold必须从hold卖出
- rest要么保持,要么从sold进入
最后返回sold和rest的较大值。
面试官:测试一下?
你:用示例 [1,2,3,0,2] 走一遍...
第0天:买入,hold=-1
第1天:卖出,sold=1,利润1
第2天:冷冻期,rest=1
第3天:买入,hold=1(成本0,之前赚了1)
第4天:卖出,sold=3,总利润3
结果正确!再测边界情况 [1],单天无法交易,返回0,也正确。
高频追问
| 追问 | 应答策略 |
|---|---|
| "能画一下状态转移图吗?" | 画出三个状态节点和箭头,标注转移条件:"hold→sold(卖出)", "sold→rest(冷冻期)", "rest→hold(买入)" |
| "为什么最后是max(sold,rest)?" | 因为持有股票(hold)意味着还没卖,利润是负的或较小。最优策略肯定是最后手上没股票,要么刚卖出,要么在休息状态 |
| "如果冷冻期是2天呢?" | 状态数增加,需要sold1(刚卖),sold2(冷冻第2天),rest。转移规则类似,sold1→sold2→rest→hold |
| "能不能不用DP,用贪心?" | 不行。贪心无法处理冷冻期约束,因为当前最优决策(卖出)会影响未来(明天不能买),必须用DP全局考虑 |
🎓 知识点总结
Python技巧卡片 🐍
# 技巧1:多重赋值 — 一行更新多个变量,避免临时变量
a, b, c = max(a, c-x), a+x, max(b, c) # 右边先全部计算,再统一赋值
# 技巧2:边界处理 — 提前返回简化逻辑
if not prices or len(prices) < 2:
return 0
# 技巧3:列表切片 — prices[1:] 从第1个元素开始遍历
for price in prices[1:]:
...
💡 底层原理(选读)
为什么DP能优化指数级的回溯?
回溯法中,"第5天持有股票,成本10元"这个状态可能通过100种不同路径到达,每条路径都会独立计算后续的最优策略,导致大量重复。
DP的核心思想是"无后效性":只要知道当前状态(第几天+持有情况+累计利润),后续的最优策略就是唯一确定的,与之前怎么到达这个状态无关。
所以我们可以用一个表格(或变量)记录每个状态的最优值,每个状态只计算一次,从而将时间复杂度从O(3^n)降到O(n)。
算法模式卡片 📐
- 模式名称:状态机DP
- 适用条件:
- 问题可以分解为多个阶段(天数/步骤)
- 每个阶段有若干离散状态(持有/不持有/冷冻等)
- 状态之间有明确的转移规则
- 求全局最优值(最大利润/最小成本)
- 识别关键词:"多次交易"、"状态限制"、"冷冻期"、"买卖股票"
- 模板代码:
# 状态机DP模板
state1, state2, state3 = init_values
for i in range(1, n):
new_state1 = transition_rule1(state1, state2, state3)
new_state2 = transition_rule2(state1, state2, state3)
new_state3 = transition_rule3(state1, state2, state3)
state1, state2, state3 = new_state1, new_state2, new_state3
return max(state2, state3) # 根据题意选择最终状态
易错点 ⚠️
-
更新顺序错误:直接
hold = max(hold, rest - price)会导致后续的sold = hold + price用到了新的hold值,而不是旧值。- 正确做法:先用临时变量保存新值,最后统一更新,或使用Python多重赋值
-
初始状态设置错误:第0天的
hold应该是-prices[0](花钱买入),而不是0。- 正确做法:仔细理解每个状态的含义,hold表示"持有股票的净利润",买入时是负数
-
最终答案错误:返回
max(hold, sold, rest)是错的,因为hold表示还持有股票,利润未实现。- 正确做法:返回
max(sold, rest),即最后一天要么刚卖出,要么在休息,手上没股票
- 正确做法:返回
🏗️ 工程实战(选读)
这个算法思想在真实项目中的应用,让你知道"学了有什么用"。
-
场景1:量化交易策略:在算法交易中,需要考虑交易成本、滑点、冷静期等因素。状态机DP可以建模这些复杂约束,找到最优买卖时机。
-
场景2:资源调度优化:云计算中的虚拟机调度,启动VM后需要"预热期",关闭后有"冷却期"。用状态机DP可以优化VM的启停策略,降低成本。
-
场景3:游戏AI决策:角色扮演游戏中,使用技能后有"冷却时间"。AI可以用状态机DP计算最优技能释放顺序,最大化伤害输出。
🏋️ 举一反三
完成本课后,试试这些同类题目来巩固知识:
| 题目 | 难度 | 相关知识点 | 提示 |
|---|---|---|---|
| LeetCode 121. 买卖股票的最佳时机 | Easy | 状态机DP入门 | 只能交易一次,状态更简单 |
| LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机II | Medium | 状态机DP | 无冷冻期,可以贪心或DP |
| LeetCode 123. 买卖股票的最佳时机III | Hard | 多维状态DP | 最多2次交易,需要4个状态 |
| LeetCode 188. 买卖股票的最佳时机IV | Hard | 多维状态DP | 最多k次交易,状态数2k个 |
| LeetCode 714. 买卖股票的最佳时机含手续费 | Medium | 状态机DP变体 | 每次交易扣手续费,修改转移方程 |
📝 课后小测
试试这道变体题,不要看答案,自己先想5分钟!
题目:如果冷冻期改为2天(即卖出后需要等2天才能再次买入),如何修改状态定义和转移方程?
💡 提示(实在想不出来再点开)
需要区分"刚卖出(冷冻第1天)"和"冷冻第2天"两个状态,然后 sold1→sold2→rest→hold 的状态链条。
✅ 参考答案
def maxProfit_cooldown2(prices: List[int]) -> int:
"""冷冻期为2天的变体"""
if not prices or len(prices) < 2:
return 0
hold = -prices[0] # 持有股票
sold1 = 0 # 刚卖出(冷冻第1天)
sold2 = 0 # 冷冻第2天
rest = 0 # 可交易状态
for i in range(1, len(prices)):
new_hold = max(hold, rest - prices[i]) # 只能从rest买入
new_sold1 = hold + prices[i] # 从hold卖出
new_sold2 = sold1 # 冷冻第1天→第2天
new_rest = max(rest, sold2) # 冷冻第2天→可交易
hold, sold1, sold2, rest = new_hold, new_sold1, new_sold2, new_rest
return max(sold1, sold2, rest)
# 测试
print(maxProfit_cooldown2([1, 2, 3, 0, 2])) # 结果可能不同,需要重新验证
核心思路:增加一个中间状态 sold2 表示"冷冻期的第2天",状态转移链条变为 hold→sold1→sold2→rest→hold。最后返回 max(sold1, sold2, rest),确保手上没股票。
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