树上背包复杂度证明

一直没细想这个问题，证了下才发现并不难。

\(siz[x]\)表示子树\(x\)的大小，\(y_i\)为\(x\)的第\(i\)个儿子，\(f(y_i)=\sum\limits_{j=1}^{i-1} siz[y_j]\)，运算次数为：

\[ \sum\limits_{x=1}^n \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=0}^{f(y_i)+siz[y_i]} \sum\limits_{k=max(0,j-f(y_i))}^{min(j,siz[y_i])} O(1) \]

对于每个\(y_i\)，其运算次数如下图：

其对答案的贡献是\((siz[f(y_i)]+1)\times siz[y_i]\)，对所有\(y_i\)的贡献求和可以看出其实就是\(O(\sum_{i<j} siz[y_i]\times siz[y_j])\)，即：在子树\(x\)内，有多少个点对的\(LCA\)是\(x\)。（严格来说这里的点对不包括含\(x\)的点对，但是不影响复杂度，所以这么表述也问题不大），并且由于不在子树\(x\)内的点，其\(LCA\)也不可能是\(x\)，所以问题就是在这棵树中有多少个点对的\(LCA\)是\(x\)。

那么最终的答案就是\(O(\sum_{x=1}^n x是多少个点对的LCA)\)，从点对的角度考虑就是每个点对提供\(O(1)\)的贡献，答案就是\(O(n^2)\)。

如果第二层for循环写成for (int k = 0; k <= j; ++k)，那么上图就从平行四边形变成了矩形，每个点多提供了\(O(siz[i]^2)\)的贡献，复杂度就是\(O(n^3)\)，从点对的角度考虑就是每个点对\((i,j)\)的贡献等于\(O(i,j的公共祖先数量)\)。