The Art of the Induction III

\[\Huge \mathrm{The\ Art\ of\ the\ Induction\ III} \]

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引言

在开始之前，请大家先问自己几个问题——请试着思考：我完全知道自己是如何做题的吗？做题是靠“注意力”多一点，“见过的套路”多一点，还是兼而有之？“注意力”是能够训练的吗，“套路”是能记录，能逐一背诵，乃至最终穷尽的吗？我是为一道题或一个解法的“巧妙”而兴奋还是叹息？

那么，大家有没有问过别人，“为什么能、如何才能注意到这一点”，而他的回答让你满意了吗？

有没有畅想，梦想，或者幻想过：如果有一天，这世界上没有灵感，没有注意力。或者它虽然存在，却被某套体系框定了。这套体系可操作，可言说，也即可复用和可传授。只要由这套体系引导我的思绪，就能注意到那些应该被注意到的？

我打心眼里不相信这套体系完美地存在，我更不打算给出这套体系。我的天赋很差，也许我是你读到的博客作者中 OI 水平最差劲的一个——然而我还期望自己为这个社区作出一点贡献。我的贡献应该是，也仅仅是指出这个事实：

思维体系不是无法逼近的。

我除了指出存在性，还尝试着迈出了一步，但这不过是抛砖引玉。我寄希望于看到这里的你，还有一切广大的后来者，我们一起来完善这套体系。如果连我这种天赋的人都能迈出一步，那此事就大概率能做下去。虽然人与人思维方式有些许差异，但是我们将达成一些共识。

下面给出我的私人体系。它会提出一些通用的方法，然后围绕动态规划、数据结构、图论、数学、交互与构造等方面展开，每个方面都会先给出一般性方法，再具体分析。我特别推荐 Alex-Wei 的博客作为补充阅读，它对各类算法及其基本应用的介绍极为详实，本文就不再赘述。例题在本博客下 Exemplary Examples 中，它将详细展示这套体系的动态运作，期待大家结合阅读。

祝大家前途光明。

第一章总体方法

§1.1 超级方法

一、元素

元素，主体，对象。

例如一棵树，树上的一个点，一条边，一条路径，一个子树，一个连通块，都可以是元素。以点为主体时，边就是元素间的联系。以路径为主体时，点和边就是元素的组成部分。

所有题目都建立在元素之上，否则就无法叙述题面。然而题面所关注的元素，不一定是我们选用的主体。如果在原题框架下转换主体，甚至作出跳跃性的等价变换（例如括号序列转折线图），就需要将原题面翻译到新元素上去。

自然理解题面时所需关注的元素，对答案作出贡献的元素，边界元素（例如树的叶子、网格图边框上的节点），数据范围小（或者说特别简单、具备某种特殊性质）的元素等，我们往往留心，称之为关键元素，或者主体。

元素的对称。例如在 01 序列中，从以 0 为主体，转换成以 1 为主体，就好比推箱子的问题，可以把箱子的移动转化成空格的移动。
单位值主体。把每单位值想象成一个小球，小球去往何处，就是给那里做了贡献。

二、限制

限制，性质，关系。

只要一道题目谈到了元素，那么它必然对其施加定义。可以认为所有的定义都是限制。

例如当谈及某集合的 mex 值 $v$ 时，相当于施加了“$1,2,...,v-1$ 都在集合中出现”“$v$ 不出现”的限制。要叙述此限制，所选的关键元素就是“集合内的全体元素”。然而，它实际只施加在集合内元素的值上，也即主体的某个方面上。若要求元素具备某种性质，则必然引入了限制。

对于同一个限制，只要更换主体，就能得到等价表述。

按照题面自然叙述限制时，限制所施加的主体往往不令人满意，主体可能太大，太抽象，例如“图是连通的”。一般来说，这就需要改为选取原主体的组成部分来描述限制，例如“图中任取两点，都存在一条路径”。

单点限制。就是拿出一个元素来，看上面的限制。限制一般作用在某个方面上。
双元限制。拿出两个元素来，它们会存在某种关系，就看对这种关系的限制。这两个元素通常在某些方面较为接近，形象说就是“相邻”。双元限制和图论中的“边”较为类似。当元素之间的限制过于紧密，将这几个元素合并处理可能更方便。
多元限制。

对主体做了转化，就必须把限制和所求答案翻译到新主体的语境下。然而限制的表述方法不单单由主体而决定。以集合 mex 的定义为例：

“$1,2,...,v-1$ 都在集合中出现”且“$v$ 不出现”。
不在集合中出现的最小 $v$。
“$1,2,...,v-1$ 都在集合中出现”的最大 $v$。

只要对第一行限制做两次取反，就变成：不要这样的 $v$，使得“或者 $1,2,...,v-1$ 中有一个值没出现过，或者 $v$ 出现过”。
关注限制的前半部分“或者 $1,2,...,v-1$ 中有一个值没出现过”，它意味着所有大于“不在集合中出现的最小 $v$”的元素都不要。
结合后半部分，所求的就是不在集合中出现的最小 $v$。
对称主体，由考虑不在集合中出现的元素，变为考虑出现过的，那么就是“$1,2,...,v-1$ 都在集合中出现”的最大 $v$。
以上这段推导，如果在值域轴上考虑，记录 $a_i$ 表示集合内是否出现过 $i$，将数组一字排开成 01 序列，就会显得直观。

存在型限制与全局型限制的互相转化，用取反。
最值型限制与存在-全局型限制的互相转化，按照值的顺序枚举，有时可以二分。
存在型限制到最值型限制的转化，就是找出“最可能符合条件的元素”，观察它究竟是否符合。

再看这个例子，两个串 $a,b$ 的 lcp。如果把限制加在前缀上，就是“最长的相同的前缀”。先关注第 $i$ 个前缀是否相同，再找出最长的。把前者写成 01 序列，形如 11111100000000。需找出最后一个“一”，或对称地，第一个“零”的位置。若求“第一个零的位置”，可利用限制本身的内容来简化限制——“第一个零”意味着前面都是一，换句话说，无需以前缀为主体，只需找出第一个 $a_i\neq b_i$ 的 $i$ 就可以了。

请问如何判断一个 01 串是否形如 11111100000000。很多简易的限制只涉及到数量关系。以单个字符为主体，取双元限制，取相邻，取数量关系。限制实为：10 子串出现次数恰好为一。

分步检测。给多项限制钦定“检测顺序”，“前 $i$ 个限制都满足”的元素，才送去检测第 $i+1$ 个限制。好处在于：或者满足前几个限制的元素数目少允许暴力枚举，或者此类元素具备良好性质（有时，良好性质与所加限制甚至不在同一方面），故能简化判定过程。有时，由于元素满足了前几个限制，后一个限制本身也可做修改。
7.1 要构造方案，使之同时满足多个限制。可先强令其满足某一个限制，在此基础上，做调整使之满足第二个限制，以此类推。
特别地，限制可能不是常数个。例如是单点限制/双元限制，可依次加入元素（和对应限制），实时调整。换句话说，维护由当前元素构成的“子图”，只考虑当前元素之间的关系，以及限制。
用数量关系描述限制。或者构造势能量。相通之处在于，采用极少量的信息，描述了复杂状态的合法性。
必要性探路。限制加在全部单点元素上，不妨先只注意：关键元素受到限制会造成什么后果。限制加在全部双元 $(i,j)$ 上，不妨先只注意：双元之间关系匪浅的那些对元素（例如某些轴上相等或相邻，即 $j=i,j=i+1$ 时）所受的限制，会造成什么后果。
9.1 只考虑在题面中确定的元素（题目信息）涉及到的限制，不考虑只涉及“允许自定义元素”的。

三、轴

轴，顺序。

前文提到，元素具备多个方面，每个方面都可能存在性质。许多情况下，这些方面就是轴，如值域轴，位置轴，时间轴，种类轴等。因为对于两个元素，在这些方面可以比较“大小”，这就产生了偏序，而轴就是一种使得偏序都成立的全序。

举例来说，一棵树，取主体为节点，选取方面为“在树上位置”，定义大小比较为“无祖先关系不可比，反之祖先为小”。任意 dfs 序就是一种“使得偏序都成立的全序”。因此 dfs 序可以是个轴。更进一步地，树上启发式合并，必然是先合出儿子再合其祖先，这也会使得偏序都成立，故也可看作一种轴。

有多个轴时，就需决定哪个轴放在外面。大致来说，依最外轴的顺序添加限制、考虑问题。例如二元限制有方向时（限制 $(i,j)$ 与 $(j,i)$ 不同，$a_i<a_j$ 就是这样的限制），常常把“限制所涉及的方面”（$a_i<a_j$ 中，位置和值域）放在最外面。所谓“强制在线”，就意味着题目指定了最外轴是谁，并钦定最外轴仅允许扫描线。然而，主席树等预处理式数据结构，允许我们预先扫描其它轴，之后再来处理“强制在线”的查询。

扫描线。从小到大枚举 $t$，并实时维护“在外部轴时刻 $t$，内部轴上坐标为 $i$ 的元素（此处可能是抽象元素，也即不是原题面所叙述的元素）的值（额外轴）是什么”。若有两个内部轴，就是维护二维平面。注意总会有一个额外轴以“被维护信息”的形式存在。
最外轴翻转。加入变删除，删除变加入。如果终止状态确定，常用这个办法。有时还会要求“寻找答案来源”，例如求复合函数 $f(g(h(x)))$ 最大值取到的位置（许多题目的操作过程，可被抽象成复合函数）。正序轴是由内而外，逐步复合。倒序轴则是先问 $f(u)$ 最大值取到的 $u$ 再问 $g(v)=u$ 的 $v$，最后问 $h(x)=v$ 的 $x$。尤其在覆盖问题中常见。
转 01 序列。尤其是限制只涉及“元素相对大小关系”的题目，可把值域轴放外面做扫描线，设大于当前值的元素为一，反之为零。

有时轴并非常被关注的方面，此时就要回到本义，轴是考虑问题的顺序。例如题面中提到了多种操作，经过尝试证明了：操作顺序任意调整，不劣。这相当于“操作顺序”轴由人自定义。常见办法就是放弃以“操作顺序”为最外轴。例如，改成以“操作种类”为最外轴，先将类型一的全部操作进行完毕，再进行操作二，以此类推，实例见 T-174。

自定义。我们通常屈从于题目叙述的顺序，或者题目限制所加的顺序，因为这样才容易考虑问题。如果发现某个轴的顺序允许自定义，一般就不用它作为最外轴，就是使用它，也会让另一轴随该轴单调。

四、描述法

描述，解。

问题所求的答案背后，往往存在“解”。例如求某些元素的最大值，答案是值，“解”是取到最大值的元素。如果“解”极为复杂，就需引入描述法。例如下题（T-104-3 P12074）：

给定数组 $a$，值均为零。同时给定数组 $x$。枚举 $i$，选择下标 $p_i$ 令 $a_{p_i}\gets x_i-a_{p_i}$。求最终 $a$ 元素之和的最大值。

答案是值，“解”是 $p$ 序列（按原题的叙述来说）。然而，答案的值形如 $\sum \pm x_i$，所以描述 $x_i$ 前系数序列也可。

描述法是，对于每个给定的解都能算出的一套信息，一套信息通常一一对应解，因此信息和解等价。描述法和选取的主体及其上的限制有关，只对统计答案服务。也就是说，一个解对答案贡献的权值，必须能通过“一套信息”计算（“是否合法”视作 01 权值）。这套信息的所有组合方式（称作可能性），应能够囊括合法解，或最优解的所有可能情况。若有优秀描述法（所描述的信息易被考虑），则只需找出一种方法（dp，贪心，或枚举等），去遍历其全部可能性。

有时存在多个解对应同一套信息。甚而，在所有可能性中，有时会存在不对应解的信息（如上面的例子），这就需要对信息加上合法性限制。总体来说，描述法只和答案计算方式、选取主体以及主体的特殊性质有关。

“放生”描述法。若难以看出优秀描述法，通常是因为没有掌握足够的性质。此时可以先找出一个愚蠢的描述法（不加过多限制，只和主体有关，虽然可能性过多，但合法解或最优解一定被它描述），再把部分信息“放生”（假设其余信息已经确定，作为参数传入了某个函数。这个函数的目的在于依据参数，确定“放生”信息，返回最优答案），将“放生”了的信息调整或贪心到最优，观察所得到的结构（得出性质），据此修改描述法。循环往复直到足够优秀为止。关键在于将描述法划为多个基本独立的部分。这些部分的描述顺序，一般来说可任意确定，故还可“改变描述顺序”。数学推式子题，其实每个求和符号，都代表一部分描述（枚举变量，这就增添了信息）。“改变求和顺序”实质上等同于“改变描述顺序”。
“逐步”描述法。答案权值跟多个“时刻”（时间轴，是选择并扫描的最外轴）的状态都有关系，但状态间具有可递推性的问题。每次只需在上个状态的基础上，额外记录部分信息得到新状态。可以不断用已记的信息，对尚未处理的信息作出限制（为使得已知信息“此刻”是“这样”的，未知信息必须满足何种条件）。
钦定一对一。包括但不限于判定性计数中的“原序列-操作序列”问题。“钦定字典序最小”。原序列-操作序列本来是多对多的。一般是描述“原序列-某种能生成原序列的操作序列”。若这种方式不可行，就必须提前操作序列的描述顺序，也即描述“操作序列-使得该操作序列合法的所有原序列”。但对同一原序列，有多个操作序列符合条件，这就算重了。法一，统计每个原序列会被多少操作序列计算，这个数对各种原序列均相同，只需让答案除以该值。法二，钦定多对一，即钦定一个原序列只对应一个“真正合法”操作序列，一般是“在所有合法操作序列中字典序最小的”。字典序可自定义。另一个例子是树上连通块计数，在最浅点统计答案。

§1.2 一般方法

对元素的操作
1.1 解耦。
1.1.1 两部分信息无需缠绕着确定，而是可以先确定 A 再确定 B，甚至对 AB 的确定顺序都不作要求。有的解耦需要仔细考察两部分的描述顺序，或计算顺序。反过来，如果两部分的计算顺序已被确定，或允许自定义（例如先做操作一再做操作二不劣），大概率也就需要解耦（这时就要先观察，只用操作一能得到什么）。
1.1.2 可以把计算过程的某一部分抽象出来，视作函数。
1.2 合并。
1.2.1 元素统一计算。可以把元素合并成易查询信息的二级结构，这就是分块的雏形。在多个轴上同时相邻的元素，并段。值得一提的是，贡献来源相同的元素并段。
1.2.2 一个节点只能作为中转点时（不再关键），就可与别的元素合并。若干元素之间的关系处理完了（或者这些元素之间本来没关系），能够一致对外，可合并起来。
1.3 对称。
1.3.1 01 对称。从考虑全体白元素，到考虑全体黑元素。
1.3.2 原序列-差分序列-前缀和序列对称。
1.3.3 单调轴对称。限制原本加在位置轴的序列 $a$ 上，而另一轴 B（例如值域轴 $a_i$ 关于位置轴 $i$）关于位置轴单调，可以把元素转写到 $b_i$ 中去，以之翻译限制。由于单调性，以任一轴上元素为主体，问题本质相同。由于一对单调轴的同一性，数据结构可以方便地维护对两个轴上区间的混合操作。有时可以主动制造一对单调轴 $x,y$，常分析哪些元素是有用的。例如若对任两个元素 $(x,y),(x',y')$ 只要满足 $x>x',y>y'$ 则后者无用，那么有用的元素就仅是关于 $x$ 的前缀最大 $y$ 值，有用元素构成的序列在 $x,y$ 两个轴上单调因而 $x,y$ 轴具备同一性。总结来说，制造单调轴的方法就是观察无用状态。
1.3.4 根据对称得到两种暴力，从而根号分治。
问题的转化
2.1 变现。将能够处理的情况处理掉，剩余的情况就具备性质。
2.2 化归。将当前问题转化为已经解决的子问题。特别地，依题意扫描时序并调整状态时，有时会存在某时刻，问题被调成已解决问题，或者容易解耦。则此时刻就是“里程碑”。
2.3 上下界。只考虑在题面中确定的元素（题目信息）涉及到的限制，不考虑只涉及“自定义元素”的，据此估计上下界。并不一定取到，但有助于思考。
2.4 无解。判断无解性，可用于变现。
多个本质相同问题
这类问题可视作函数，各个问题的不同只在于传入的参数。
3.1 简化单个问题的计算方法。
3.2 递推。常常需要找到：某一轴上相邻（或者许多轴上同时相邻）的两个问题，比对这两个问题的差异，用其它问题（可能与原问题本质相同，或本质不同），或者 $O(1)$ 计算来弥补。
3.3 合并连续段。某一轴上相邻（或者许多轴上同时相邻）的多个问题，合并统一计算。有时这些问题的答案甚至都会相同。
3.4 选择贡献主体。把二元关系“问题-答案来源元素”换成“答案来源元素-问题”，就是由元素贡献问题，而不是由问题访问元素。选取最合适的主体做贡献，可能不是题目所叙述的。
3.5 改变求和顺序。可以把“枚举位置在外层”的变量，当作常量从内层提到外面。
调整法
调整法的目的是减少合法解，或最优解的可能性，了解这种解的性质，优化描述法，或者直接解题。先尽量做小调整，从“只修改一个位置，或只把值修改一个单位”开始尝试，如果没有得到好的结论，就加大调整力度。
4.1 最优化问题。先拿出一种合法方案（未必最优）。对一次正确的调整，有两个限制。第一个是要保持方案合法性，第二个是在最优性判定上，要不劣于（甚至优于）调整前的状态。
4.2 判定性问题。可能存在多个方案最优，或者原问题没有“最优化”只有“合法性”。这就需要自定义“最优方案”，一般是“按某个字典序最小”。
4.3 元调整。将一次调整看成“删去若干元素并添加（等量）若干元素”，调整也能作为“解”被描述。用“放生”描述法描述“调整”本身，甚至对“调整”做调整，或者贪心。

§1.3 特殊方法

排列
1.1 关心元素的相对大小时，扫描值域轴，转化为（多层）01 序列。
1.2 建立置换环。常把环的个数用于势能分析。
1.3 关注（值域轴或位置轴上的）前后缀元素是否连续出现。
1.4 关注从某元素开始的最长上升子序列，还有等差序列等。
1.5 排列所包含的信息，和其逆排列相同。所以考察排列相当于考察其逆排列。
1.6 刻画集合 $s$ 内部元素连续的方法：$|s|=\max-\min+1$。
1.7 排列计数的一般技巧，本质上有六种方法：
法一，扫描位置轴，微调（逐步描述）策略是值域分裂。
法二，扫描位置轴，微调策略是位置分裂。
法三，扫描位置轴，微调策略是位置交换。
法四，扫描值域轴，微调策略是位置分裂。
法五，扫描值域轴，微调策略是值域分裂。
法六，扫描值域轴，微调策略是值域交换。
类括号序列
2.1 记录当前多余的 ( 数，即在 $i$ 前面决定与后面匹配的位置数量，“允许操作没有结束”。
2.2 考虑与 $l$ 配对的元素 $k$ 的位置，如 (...)...。注意，这里如果有多个和 $l$ 配对的元素，选取最后一个，才能顺利分割子问题。
2.3 将 ( 视为 +1，) 视为 -1（视情况，所赋权值可能不同），关注序列前缀和，可绘制折线图，限制通常加在最值上。
2.4 合法括号序列，转化为树的结构。
直方图
每一列长度不同，希望顺序考虑这些列（例如希望先考虑长的列再考虑短的）。
3.1 如果 $a_i$ 任意重排不影响答案，更换到值域轴上做。
3.2 建立笛卡尔树。
3.3 扫描高度轴，逐行处理。待处理部分是若干区间，处理后，因为一些立柱到顶，有些区间分裂。
网格图上的矩形
这类问题通常需要选择合适的描述顺序，利用递推和解耦（拆分函数），并充分利用单调性（也即两轴的本质同一）。
4.1 依次枚举左下角、边长（正方形计数）。
4.2 依次枚举左下角、左上角、宽（矩形计数）。有时在枚举前两者后，建立笛卡尔树以处理。
4.3 依次枚举上底所在行、下底所在行、两条竖边所在列。

第二章动态规划

§2.1 一般方法

一、初步的状态

此处主要讨论生成式 dp，也就是含有“解”的 dp，无论求最优解，求合法解，抑或是求合法解数目。非生成式 dp 更接近数学推式子，还有直接递推的思维模式，一般来说，题面叙述到的变量本身，就已告知了状态，如 T-122。但要特别注意：非生成式 dp 中，若其他状态包含与当前状态相似的转移，可直接重复利用。

生成式 dp 中，子问题的意义在于确定“解在此部分的形态”。dp 和贪心的区别是什么？dp 会把与全局最优解有关的“解的部分”都记录下来。贪心只把使子问题达到最优的“解的部分”记录下来（若对子问题本身存在多解，只需记录“对外界”的最优解）。然而，不一定记录解本身，而是记录，“外界”若要调用“子问题的解”（在此基础上做微调，或以“子问题的解”权值计算更大结构的权值），所需的信息（微调的“接口”等）。

首要是定义状态，但定义状态时必须参照转移。状态定义时需要考虑五个要点：

描述法，描述法只跟答案计算过程，还有所选主体有关。
轴，即被扫描的最外层轴，和被（逐步描述法）微调维护的内层轴。若已知解，扫描此最外轴一般能求出解的权值（例如 dp 套 dp 或者 dp 套贪心，内层套的就是，权值或称“答案”的求解办法），但也有反例。
逐步转移（一般而言都是逐步）还是断点转移。
信息推后确定，尽量只在信息影响状态转移时才确定它；信息提前确定，该信息对未来转移至关重要，但若现在不确定并记录它，未来就没机会了；信息释放，某些信息不涉足未来转移，可与 dp 解耦，无需记录在状态，而是直接贡献给答案，或贡献给 dp 数组内的值，注意有许多信息可以在 dp 开始前就解耦。断点转逐步，通过增加状态和“当前操作未结束”来实现。逐步转断点，通过减少状态和释放信息来实现。
先粗糙再扩充，无法记录信息或完成转移时才扩充状态。此处还要介绍一个针对交互题非生成式 dp 的通法（这类题目，题面就已给出转移）：先设计一个不足够的“状态一”，据此转移一次。为描述某个“状态一”转移一次后得到的状态，需要引入“状态二”。循环往复直到“状态二”对转移封闭，设计完毕。

信息推后确定，改成信息提前确定或信息释放，需要抓住这一点：信息推后确定时，大概是，现在记录下来一些“接口”“选项”“限制”供未来元素选择或遵从。提前确定或释放的策略则是，在“接口”“选项”“限制”建立的同时，确定某个未来元素（可能是抽象元素，例如，$a,b,c$ 三个具体元素中的最大者）某个方面的值。要求是：对于任意情形，只要这个方面等于你所确定的值，就必能把接口接上，或满足当前限制。这样一来，只需记录“你所确定的值”（能做信息释放时甚至无需记录），而无需记录“接口”“选项”“限制”本身。

二、初步的转移

非常重要的一个概念是转移 dag。只需按 dag 的某一拓扑序，快速描述所有边，就能转移。描述边的方法一般有三种：

做贡献，即在点 $i$ 处，处理一切以该点为起点的边。
受贡献，即在点 $i$ 处，处理一切以该点为终点的边。特别地，可以扫描线（枚举 $i$）微调维护各边的“当前权值”。
以边为主体，将多条（一般是边权 $f_s+t$ 相同，或附加边权 $t$，甚至附加边权来源相同）的边合并处理。

三、状态与转移的初步优化

打表看有效状态与有效值域是首要操作。

改换描述法。比如错解不优。选主体，轻限制。优先涵盖所有解，暂且忽略“解必须合法”“解必须优秀”。例如要选择子序列 $a$ 使 $\max a$ 最大。原本描述“子序列-子序列最大元素”，现在只需描述“子序列-子序列内任一元素”。
做对称，状态与答案互换。要求答案很小（例如答案是 01），且相同答案对应的状态是规整的（如一段区间。尤其是状态-答案具备单调性时，两个轴基本等价）。还能据此根号分治，见 T-102-6。
记忆化和下标换元。如定义 $g(x)$ 为一切合法状态，则令新 dp 数组 $dp_{x}$ 代替原来的 $f_{g(x)}$。很多时候，实际有值的状态不多。
对状态做合并，删除，或者等价替换。
观察无用状态。除了删除值无效的状态（计数中值为零，最优化中值为无穷），在最优化问题中还有“只需记录某种前缀最大值”。例如原状态 $f_{i,j}$，其中 $i$ 是被扫描的最外轴，$j$ 是“当前代价”，数组内存放“最大值”，题目要求，在代价不超过 $C$ 的前提下，最大化“解”对应的最终值。对 $i$ 而言，无用状态 $(i,j)$ 的标志是存在 $k\subseteq j$，但 $f_{i,k}\le f_{i,j}$。这是因为状态之间存在内禀的单调性，也就是状态 A“天生应该”比 B 好。据此观察无用转移边。最优化问题中，权值相同的一条边，转移给 A 和 B。如果状态 A“天生应该”比 B 好，那么可以认为，转移给 A 的边无用。经过观察，重新选取三种方法之一，描述一切有用边。
换句话说，是否应该改为维护连续段，或者说维护原数组的差分，前缀和，前缀最大值等。改为维护前缀最大值，一般是为了制造一对单调轴，其通用方法就是观察无用状态。改为维护前缀和的其中一种情况是，答案求 $\sum f_{n,i}$，但第二维过大打算拉插。

四、模板式的优化

首先是要观察 dp 数组沿某一维的单调性、凸性。必须要先检查三、4.。

普适型优化：

整体 dp。扫描线一个轴，数据结构（类滚动数组地）维护 dp 数组。这一步可能会用到单调性等性质。
用矩阵乘法表示转移。这就可以带修。一些 dp 数组衍生量，例如统计答案量（如果直接贡献答案的状态有很多），只需给矩阵扩维成 [f,ans]。
cdq 分治。适用于一切半在线形式 $f_i=\sum_{j<i}(f_j+w(j,i)),f_i=\max_{j<i}(f_j+w(j,i))$。

性质驱动型优化：

决策单调性。
决策单调性是指，对任意 $i,j$，从 $i$ 转移还是沿 $j$ 转移更优，写成 01 序列，只有两段。dp 是否具备决策单调性可以通过打表看出。
任一数组与一个凸包做 min,+ 卷积，这就是二分队列做决策单调性优化的绝佳例子。“任一数组”中的下标视为决策点。
1.1 二分队列。例如 $f_i=\min(f_j+w(j,i))$。对任两个 $u,v$ 都可以二分找到临界点。做法如下：计算 $f_i$ 时，若队头的管辖区间不包含 $i$，就弹掉，循环往复。利用队头算 $f_i$ 后，将 $i$ 作为方案加入到队列。求 $i$ 与队尾的临界点，以及队尾与次队尾的临界点，若后者更靠后，弹队尾。最终 $i$ 从队尾入队。
1.2 整体分治。若 $f$ 与自身无关，并非半在线问题，即 $f_i=\min(g_j+w(j,i))$。假设已知 $[l,r]$ 的决策点在 $[L,R]$ 范围内。暴力找出 $\mathrm{mid}$ 的决策点 $m$（可扫描 $[L,R]$），那么 $[l,\mathrm{mid}-1]$ 的决策点在 $[L,m]$ 中，$[\mathrm{mid}+1,R]$ 在 $[m,R]$ 中，递归求解。分治处理的问题不如二分队列宽泛。但当 $w(j,i)$ 难以直接求，只能类似莫队来递推时，整体分治就发挥作用。
斜率优化。$f_i=\min(f_j+a_i+b_j+c_id_j)$ 其中 $a_i,c_i$ 仅同 $i$ 有关，$b_j,d_j$ 仅同 $j$ 有关。令 $g_i=f_i+b_i$，变形：$f_i=\min(c_id_j+g_j)+a_i$。
2.1 做贡献。对 $j$，从它转移到任意满足 $c_i=x$ 的位置时，代价都为 $d_jx+g_j$，这是关于 $x$ 的一次函数。每次查询 $x=c_i$ 时刻，所有函数的最大值，再加上 $a_i$ 即可。用李超树。
2.2 受贡献。对 $j$ 建点 $(d_j,g_j)$（若干一次函数求最值问题，将一次函数建点 $(k,b)$ 后转化为凸包。凸包能做闵和，还能两两合并）。对 $i$，相当于枚举 $j$，最小化“直线 $y=-c_ix$ 与 $x=d_j$ 的交点，与 $(d_j,g_j)$ 的距离”。维护凸包，对直线 $y=-c_ix+b$，$b$ 逐渐增大时，有一瞬间它突然和凸包有交点了，此时 $b$ 就是最短距离。交点，或者说决策点必然是某一 $(d_j,g_j)$ 满足，在它凸包上前一个点 $u$，后一个点 $v$，有 $u,j$ 的斜率小于 $-c_i$ 小于 $v,nxt$ 的斜率。
现在一个是维护凸包，一个是求最优 $j$。
如果 $d_j$ 单调，可以 $O(n)$ 维护凸包。
进一步地如果 $c_i$ 也单调，则最优 $j$ 沿 $i$ 单调，可依据斜率，指针后移求最优 $j$。反之直接二分。
如果 $d_j$ 不单调。可以上 cdq，每次求 $[l,m]$ 向 $[m+1,r]$ 的贡献时，先离线求 $[l,m]$ 的凸包。
此时如果 $c_i$ 单调，就是总复杂度 $O(n\log n)$，反之查询时还要二分，就是 $O(n\log^2 n)$。
凸优化。
凸函数支持两种操作：闵和（与另一凸函数卷积），还有加上另一凸函数。对于前者，新函数的定义域 $[l,r]$ 是两个函数定义域区间端点对应相加后的结果，边界点 $f(l),f(r)$ 也是对应相加得到。取出两个函数所有长度为一的段，依斜率排序所有段，就是新函数各段从左到右依次排列的结果。用 set 维护所有段的斜率值即可。每次闵和就做 set 的启发式合并。
3.1 slope trick。总体上属于一种整体 dp。例如对二维 dp，将它看成若干函数 $f_i(x)$，要求它们都是凸函数。扫描 $i$，在以前函数的基础上，维护当前函数。把对 dp 数组的操作视作对函数的操作。如果涉及到闵和，还需额外维护当前函数的定义域端点。但有时 $f_i$ 的定义域已经事先约定，就需要截断“直接闵和得到的结果”。“截断”相当于丢弃斜率最大，或最小的若干段。特殊情况见 T-104-3。
3.2 wqs 二分。最小代价根据所选“物品”数量是凸的，求选择 $x$ 个物品的最小代价。忘记“选择 $x$ 个物品”的要求，每次决策新选物品时，给代价自动加上所二分的值 $m$，直接 dp。另需记录，当前状态的最优解选择了几个物品。找出最优方案之后，观察它选择的物品个数，与 $x$ 的大小关系，并继续二分。若有二维限制“这个物品选 $x$ 个，另一个选 $y$ 个”，二分套二分即可。
四边形不等式。
$w(j,i)$ 满足交叉大于包含。
4.1 若 $w$ 满足四边形不等式，则 $f_i=\min(f_j+w(j,i))$ 具备决策单调性，二分队列求解。
4.2 若 $w$ 满足四边形不等式，则 $f_{i,k}=\min(f_{j,k-1}+w_(j,i))$ 具备凸性，wqs 二分变成 4.7.1 情形，总复杂度 $O(n\log n\log V)$。
4.3 若 $w$ 满足区间包含单调性和四边形不等式。则区间 dp $f_{i,j}=\min(f_{i,k}+f_{k+1,j}+w(i,j))$ 满足，最优转移点 $g_{i,j}\in [g_{i,j-1},g_{i+1,j}]$。
区间查询。以母数组的多个区间为子数组，问子数组对应的 dp 值。可以运用猫树分治等数据结构题的处理办法，或者 4.2 的矩阵。
倒求贡献系数。初始化位置被修改，但转移图不变。倒序建立转移图，因为终点不变，即可 $O(1)$ 应答一个起点的贡献。另有：查询多个 dp 结果之和，但转移完全相同。不妨统一赋初值，统一转移。
最短路优化。dp 的转移图不是 dag 时常采用。有时（无论是否 dag），从本层转移到下一层的方式固定，可改分层图为单层图，直接跑最短路。
拉格朗日插值。注意到 $f_x=\sum a_i x^i$，因为 $i>y$ 时 $a_i$ 一定为零，所以只需求 $x=0,1,2,...,y$ 对应的 $f_x$，然后拉插。
生成函数处理卷积。注意和拉插区分。定义多项式 $F=\sum f_i x^i$（其中 $i>y$ 时 $f_i$ 一定为零），多次卷积形式的转移，就被看作 $F$ 等几个多项式间的乘法。代值计算直接数乘，能规避卷积，就可以算出 $F(x=0,1,2,...,y)$，然后插值还原 $F$ 多项式本身。注意拉插式子 $\sum y_i\prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$ 可以变为 $\sum y_i(\prod_{j\neq i}\frac{1}{x_i-x_j})(\prod (x-x_j))\frac{1}{x-x_i}$。这三个因式中，后两个用多项式除法做到 $O(y)$，最前面的是系数乘法做到 $O(y)$，外层循环 $O(y)$。总共 $O(y^2)$ 就能还原。

§2.2 具体方法

一、树形 dp

扫描最外轴“树轴”。以“子树”为子问题，定义 $f_x$ 表示考虑 $x$ 的子树的答案，子树的根是关键元素，起到并联儿子子树的重要作用。重点关注如何合并子树、上传信息。往往用另一维状态存储包含当前点的连通块，或链的信息，看它是否应向父亲延伸，即信息推后确定，“最后一个操作没有结束”。
扫描“dfs 序”轴。例如“选择一个连通块，必须包含根”的问题，则若选择一个点就必须选择其父亲。按 dfs 序依次考虑，每次可选择当前点，或不选。不选择当前点，就相当于跳过当前子树（转移是 $f_i\to f_{i+\mathrm{siz}_i}$）。
扫描值域轴。例如 T-089。
扫描深度轴。

又及，容易证明树上背包复杂度是 $n$ 的“维数乘二”次方，“维数”是指与背包容量等地位的状态维数。
参见数据结构、图论章节的“树”部分。

长链剖分优化树形 dp。dp 状态形如 $f_{x,i}$，其中第二维取值 $i\in[d_x,\mathrm{maxd}_x]$。合并子树 $x,y$ 到 $r$ 时，暴力遍历 $\min(\mathrm{maxd}_x,\mathrm{maxd}_y)$，总复杂度线性。一般来说超出的部分，也就是说 $i\in(\min,\max)$ 之间的那些 $f_{r,i}$ 可以直接继承较大的一边（例如 $f_{x,i}$）。如果不是直接继承，一般采用数据结构维护 dp 数组，就可以打 tag 了。

二、区间 dp

区间 dp 与树形 dp 本质类似，因为区间只有包含和相离的关系，类比子树，它也只有包含和相离。那么状态 $f_{l,r}$ 表示当前区间作为“子树”子问题。在这里切忌直接描述所有儿子节点，应改为逐步（类比树形 dp 的 dfs 过程，它也是逐儿子转移），可每次转移“剩余儿子里，最靠左的儿子”。设辅助状态 $g_{l,r}$ 表示当前区间作为某个封闭子树 $[l,t]$ 的前缀（后面还能再添儿子节点）的答案。有的状压 dp 本质上也在描述树的结构，区间 dp 与之有异曲同工之妙。

常见转移有三种，同一题目里不一定全部出现，分别是：
$f_{l,r}\gets f_{l,k}+f_{k+1,r}$
$f_{l,r}\gets g_{l,r},g_{l,r}\gets g_{l,k}+f_{k+1,r}$
$f_{l,r}\gets f{l+1,r},f_{l,r-1}$

举例说明。有一类区间 dp 是把每个元素划分给若干集合之一。对集合内的元素，求出其（位置轴上）最大值 $r$ 和最小值 $l$，构成一个“区间”。要求对任两个集合，其“区间”或者不交，或者包含。那么“子树”形如 ###...###.....##### 的一段序列，其中 ... 是“当前子树根节点”的“儿子节点所在子树”对应的区间，而 ### 则表示属于“当前子树根节点对应集合”的元素。初始化是将单个元素划成子树（“根”对应的集合获得元素）。第一种转移，将当前“子树”区间向左，或向右扩张一步，被扩张元素分配给“根”对应的集合，相当于在边缘接上一个 #。第二种是，将当前“子树”向右扩展若干步，被扩张区间作为一个整体，成为当前节点的儿子节点，也就是在右边接上一个 ... 段。

三、状压 dp

选定最外轴后，内层轴用状压维护，状压能够存储的信息极多，因此大多数状压 dp 的初步设计并不困难。其典型优化有三个：
1.1 FWT。尤其是半在线子集卷积 $f_s=\sum_{t\subset s}f_tg_{s-t}$。
1.2 半在线高维前缀和 $f_s=\sum_{t\subset s} f_t$ 的形式。可以 cdq 分治，每次从最高位是零的，转移向最高位是一的。
1.3 动态高维前缀和，每次令 $a_s\gets a_s+t$ 并查询高维前缀和数组 $f_t$ 的值。根号分治，每次修改只预处理较低的一半位，每次查询就只需枚举较高的一半位，做到 $O(n\sqrt n)$。
状压 dp 有一个重要分支，即状压图问题，见 T-101-2。
总是有一维状态形如“只考虑 $s$ 这个导出子图内部的边”。有三个基本思路，一般联合使用：
2.1 用总数减去不合法。
2.2 从子结构拼成大型结构。
2.3 枚举“子集内编号最小的节点所在连通块”涉及哪些节点。
几种具体情形：
2.4 连通 dag 计数问题中，常使用“当前所有入度为零的点”作为子结构。
2.5 点、边双连通分量，或强连通分量在最优化问题中，常用耳分解为子结构，连通分量本身为大结构，配合“信息提前确定”（提前确定当前“耳”的终点）“最后一个操作没有结束”。
2.6 点、边双连通分量，或强连通分量在计数问题中，常用连通分量本身作为子结构，而大型结构则成了缩点树，圆方树或缩点 dag。大型结构常作为“被减去的不合法”参与转移。
值得特别介绍的是状压树计数问题，注意圆方树计数也属于“树计数”的范畴。
2.7 定一个根上树形 dp。
2.8 改从值域轴扫描，每次加入编号为 $i$ 的点到当前连通块或虚树中。尤其是与状压图结合时，$f_{i,s}$ 表示“要求点的编号都小于等于 $i$，$s$ 内选边”的方案数。
2.9 如果 dp 圆方树形态（仙人掌，或点双连通子图计数），关键元素是割点。以割点为“子树的根”，用类似子树合并的思维方式，将子状态并联起来。“$s$ 内选边，使得 $s$ 是仙人掌，要求割点的编号都小于等于 $i$”“$s$ 内选边，不要求别的，只要割点的编号都小于等于 $i$”。

四、期望 dp

普适型方法：

期望就是加权平均数，尤其当大分母（所有情况数目）确定时，可直接转化为计数。
扫描值域轴，拆 $E(X)=\sum P(X\ge k)$。
改主体算贡献。例如计算全局符合条件元素的期望数目，改为算各个元素符合条件的概率之和。
把每次均匀随机改为随机排列并依次操作，遇到不能操作的就跳过。然后可以拆贡献到点上（“本点在多少个排列中被操作”）。
min-max 容斥。
转移图是 dag 的问题，可按拓扑序直接求解。反之通过高斯消元求解。特别地，如果转移图“类似但不确切是”线性结构、树形结构时，采用主元法，也即假设已经求得了若干关键元素的期望，用它们加上常数，去表示其余元素的期望，把一切转移环打破，然后正常地扫描一个轴来求解。转移到一个关键元素，就得到一个方程。最后解方程算出所有关键元素的实际期望。

性质驱动型方法：

高次期望的拆分。应用了期望的线性性。$E((x+1)^2)=E(x^2)+2E(x)+1$。用于转移时，就要用两个状态分别记录 $E(x^2),E(x)$。
对于求期望步数的题目，求转移附加边权时，常常要将“选到就意味着升级的元素”视作“障碍元素”，与其余“障碍元素”混在一起，计算“选到障碍元素的期望步数”，如 CF1392H。
例如 $E_0=0,E_x=\min(E_{x-1}+1,\frac{1}{p}\sum_i (E_i+1))$，输出八位实数。无法高斯消元。输出实数提示乱搞，先按 $E_i=i$ 赋初值，然后对每个 $x$ 求出 min 式子中的后一项（按照 $E_i=i$ 求的），并据此更新一次。迭代数百次之后直接输出。在期望 dp 的转移式中，只要带 max/min，且要求输出实数，就可以尝试了。

五、其他

主动算重。对几个相同的元素，给它们钦定“标号大小”顺序，使之不同。最后除以钦定顺序的方案数即可。
基环树（森林）的计数技巧，有三种：
2.1 先钦定一些环，然后把环缩成点，并用 prufer 序列，或 Cayley 定理完成常规森林计数。
2.2 逐步添点，维护“由前 $i$ 个点构成的虚基环树森林”形态。
2.3 给边定向，指向父亲，环上会有两种方向，对一个连通块除以二即可。从小到大加入点，加入一个点时要把它可达的点全部加入，如果可达的点中有编号比“当前时刻”更大的，就什么也不做。也即扫描 $i$ 的过程中，要么添加一个包含 $i$ 且编号都小于等于 $i$ 的环，要么添加一条以 $i$ 为结尾且编号都小于等于 $i$ 的链，这链一直接到已有环上/已有的树上，要么添加一个 ρ 形态结构，要么等待机会，什么都不做，任由后面的点把 $i$ 添进去。
二分图的计数技巧。
3.1 一个连通块仅两种黑白染色方法。
3.2 扫描右部点做 dp，状压或枚举左部点涉及的全部信息。
实数轴上的相对大小问题。有一个扩倍的经典思路，就是把每个单位长度分成 $n$ 份，然后 $O(n!)$ 枚举各元素小数部分的相对大小关系（这部分可改为 dp 确定）。

第三章数据结构

§3.1 一般方法

一、代数结构与信息的性质（选择性阅读）

这一部分远非严谨的数学证明，甚至在定义上也可能有小错误，请多包涵。然而需要强调的核心思想是：要关心所研究对象满足的代数结构类型，确定其性质，从而选用最合适的数据结构来维护。本节相当于“元素”在数据结构语境下的一个显影。

一个代数结构是一个集合，连同定义在该集合上的若干运算，这些运算满足特定的公理。例如对于集合 $R$ 内的元素，可以定义若干双目运算“加法”“乘法”等等。一般来说，这个“集合”可能有两种现实意义，分别是：“集合”由所维护的信息组成；“集合”由某种操作本身组成。

半群。
定义：满足结合律的运算和对应元素 $(a+b)+c=a+(b+c)$。还有封闭性要求运算结果仍然在集合内。
意义：可加性/可合并性。如果集合定义在信息上，那么可以按任意先后顺序合并信息，从而允许批合并一个连续段，或者应用分治数据结构，解决单答案问题等。如果集合定义在操作上，那么运算相当于操作的复合，就允许批合并操作，并把它们当作一个操作来处理，非常实用。
1.1 幺半群。
定义：半群基础上，存在单位元 $e$ 满足 $e+a=a$。
意义：允许信息与“空信息”合并，从而可以放心在线段树等中，构建“空节点”。我们见到的题目里，只要代数结构是半群，一般就也是幺半群。如果不是，不妨额外引入一个单位元，就能解决问题。
1.2 幂等半群/带。
定义：半群基础上，保证幂等性 $a+a=a$。
意义：定义在信息上，就具备可重算性，允许重复合并，也就允许了更加野蛮的批合并求解单答案。例如 st 表。
1.2.1 交换幂等半群/半格。
定义：幂等半群基础上，满足交换律 $a+b=b+a$。
意义：定义在集合上的交/并，定义在实数上的 max/min，还有数论中的 gcd/lcm，都属于这样的代数结构。这种集合是天然的偏序集（集合内具备若干形如 $a\le b$ 的关系，这个关系必须具备传递性。但是可以有若干对元素不可比）：若 $a+b=a$ 则认为 $a\le b$，那么 $a\le b,b\le c\to a+c=(a+b)+c=a+b+b+c=(a+b)+(b+c)=a+b=a\to a\le c$。这类代数结构是容斥的基础，见 T-101-3。也是 FWT 的背景。有没有觉得与/或 FMT 特别像一个容斥？从而可以类比着发明“快速 gcd/lcm 卷积”等。当然，无需发明“快速 max/min 卷积”（笑）。
为什么传递性证明没有用到交换律，但是要在满足交换律的代数结构上定义偏序集呢？因为交换律的作用是让左偏序和右偏序一致（$a\le b\to b\ge a$），从而得到一个自然的、对称的偏序关系，这也是算法中最常见的情形。这个不必纠结。
1.3 交换半群。
定义：半群基础上，满足交换律。
意义：交换律使得合并时，不必按左右顺序。定义在操作上时，交换律是莫队的基础。
群。
定义：幺半群基础上，每个元素有它对应的逆元，满足 $b+b^{-1}=e$。
意义：如果定义在信息上，是可减性，允许差分；如果定义在操作上，是可逆性，操作存在逆元，就允许撤销操作，用于莫队等算法。
2.1 循环群。
定义：群内集合可以由生成元（用原根来理解）构造，集合 $R=\{ng,n\in \mathbb{Z}\}$。循环群可以通过“在一个环上转圈”来理解。
意义：例如取模意义下的指数运算。循环群要求 $0g=e$。有限循环群还要求存在正整数 $x$ 使得 $xg=e$（无限循环群可以视作环特别大以至直线）。
接下来是定义在同一集合上，且有两种运算的代数结构：
格。
定义：两个定义集合一样的半格，设运算分别为 $\cap,cup$。这两种运算内部（自己和自己）具备交换律和结合律；两种运算之间存在吸收律 $a\cup(a\cap b)=a,a\cap(a\cup b)=a$。两种运算各自的幂等性可以由吸收律推出：$a=a\cup (a\cap (a\cup a))==a\cup a$，另一个亦然。
意义：格意味着，对应偏序集的偏序 dag 满足，任意两个元素具备唯一“最近公共祖先”和唯一“最近公共子孙”，这两个元素分别是 $a\cup b,a\cap b$ 的运算结果。集合交/并，max/min，gcd/lcm 就是格。
3.1 全序对合格。
定义：全序格（偏序 dag 是一条链）一定是分配格，两个半格定义的运算之间具备分配律。格配备了“对合反序映射”，类似负数。
意义：max/min 或者二元布尔代数更精确地属于此类格。“对合”意味着类似 $-\max(-a,-b)=\min(a,b)$ 的性质能够成立。
非交换半环/分配幺半群。
定义：两个定义集合一样的幺半群，设运算分别为加法和乘法，则乘法对加法满足分配律 $a\times (b+c)=a\times b+a\times c$。注意这里的乘法是半群里的，不一定有逆元、交换律。
意义：将“信息合并”与“操作”分别对应加法和乘法。那么“非交换半环”就是一个特别合适的，对线段树“打 tag”过程的刻画，分配律允许标记下传，而“打 tag”这一操作的结合律允许标记合并。幺半群是为了允许存在空 tag 和空信息。
4.1 热带半环
定义：max,+ 或者 min,+ 的半环。
意义：可以定义 max,+ 矩阵乘法等，广泛用于 dp 转移，可得到矩阵快速幂算法。加法对 min,max 有分配律，所以有常见变形 $t+\max(a,b)=\max(t+a,t+b)$。注意热带半环无法处理三操作 min,+,-，或者 min,max,+，见 T-130。

二、轴在数据结构中的应用

本节相当于“轴”在数据结构语境下的显影。

扫描线。假设扫到 $t$，一般实时维护“在外部轴时刻 $t$，内部轴上坐标为 $i$ 的元素的值是什么”。若有两个内部轴，就维护二维平面。所谓“强制在线”，就意味着题目指定了最外轴是谁，并钦定最外轴仅允许直接扫描线。
区间查询。每次查询涉及到最外轴上的一个区间。如果信息具备可减性，可以尝试差分。
法一，坚持扫描线，视情况可做线段树历史和。
法二，类猫树分治。
法三，令若干个轴地位平等，使用莫队。
法四，分块。
规避删除，加入，或者修改操作。
大部分修改操作都可以视为先删除再加入。将一个大修改解耦成若干“先删除后加入”的“单位修改”。
3.1 对最外层线段树分治，回滚莫队，或者分块并定期重构（后两者本质相同）。
3.2 最外轴翻转。加入变删除，删除变加入。如果终止状态确定，常用这个办法。
cdq 分治。需要满足：可将贡献解耦并视为“初始元素、修改和查询间的连边”，一切贡献从最外轴的小端向大端进行。
转 01 序列。尤其是限制只涉及“元素相对大小关系”的题目，可把值域轴放外面做扫描线，设大于当前值的元素为一，反之为零。
在答案值域轴上直接二分。常常用数量关系来刻画“本区间内是否存在答案”。搭配线段树上二分更佳。
6.1 整体二分。需要满足：可二分答案，可将贡献解耦并视为“初始元素、修改和查询间的连边”，贡献依任意顺序可加。
查询轴。放在内层维护各个查询“当前的答案”，碰到 $l_j=i$ 则插入一个查询，碰到 $r_j=i$ 则问答案。

三、其他一般方法

普适型方法：

数据结构“三步走”：预处理。修改。查询。
千万不要忽视查询，查询时能处理的事情很多，预处理或修改时难做就放弃，因为不是每一时刻都得保证能 $O(1)$ 或 $O(\log)$ 知道任一元素的答案。
预处理方法有折半、分块、分治等。询问复杂度过低往往是预处理造成的。
寻找一个熟知的问题，比较这两个问题的强弱，可得复杂度下界，也可借鉴已知问题的思路。
合并元素、更改主体，统一贡献、统一修改。
缩连续段，尤其是具备单调性的时候。因为单调性暗示着两个轴地位一致。一般而言，这时候的连续段，就不只是在一个维度上连续，而是同时在多个维度上。
只考虑关键元素。关键元素的数目可能并不多。如果元素没有用了，就把它删除，或与其他元素合并起来。

性质驱动型方法：

数量表示信息。尤其是带有“复杂结构判定”的题目，尝试用某种数量（类似于哈希值）来替代区间信息，转化为判定对应区间的这个值。好就好在：第一点，复杂结构压成的数量，往往具备可加性，合并数值远快于合并结构。第二点，异或哈希还具备可减性，允许迅速对消。
每个元素具备 $k$ 种阶段，最外轴扫描过程中，阶段只会增加不会回退。每次暴力找出待更新的元素，设单次找出 $O(a)$ 则总复杂度 $O(nka)$。
特别地，元素的两个阶段是“存在”与“消逝”。例如元素只会合并而不会分裂。将合并得来的视为抽象元素，两个抽象元素合并时，就视为旧元素消逝而新元素开始存在。故暴力合并是正确的。有时会解耦维护，也即采用 $k$ 个数据结构分别维护每一类元素。
割补法。问题形如，在二维平面上查询一个区域内的信息。将大区域分割开来，由于经过了解耦，若干小区域的求法常常完全不同（可以离线，可以在线，可以改主体，可以递推。每一类小区域的预算都和总预算相同）。
首要是分析，信息是否具备可加性、可减性、可重算性。可减性意味着允许差分，可重算性则允许小区域互相重叠。
在二维平面上，只要信息满足可加性，$O(\log)$ 就足够处理（一定注意：直线、矩形未必与轴平行）：
在线（带修）求两条平行直线之间范围内的信息；
在线（带修）求某条直线上某个点 $(x,kx+b)$ 左上方的信息；
离线求“确定了小于等于三条边的半矩形”内的信息（扫描线）。
查询时有临时修改。但不是真正在数据结构上修改。若忽略修改查出最大值，改后可能不再是了。如果修改涉及的元素很少，同时维护最大值、次大值等即可。
查询涉及“等于某值的全体元素”。思考这个值是否一定为最值。或者说思考只关注最值元素能否回答查询。
“区间”“点对”。
6.1 既可认为是一维的，也可以为它建立两个轴（$l,r$ 的两个轴，画在二维图上考虑，一般用分治或者分块处理）。
6.2 思考特殊性质：区间互不包含如何做；区间形成树形结构怎么做。有时题目所示的区间暗中满足了几项性质。

§3.2 分治数据结构

多 tag 问题。一个操作序列，可被压缩成顺序确定的“操作种数”次操作，其先后顺序需要自定义，例如有加有乘的情况，就把操作序列压缩成先乘 $a$ 再加 $b$。确定顺序后，只需考虑合并 tag，例如有两种操作时，就相当于“任意元素先与 $a$ 做操作一，再与 $b$ 做操作二，再与 $a'$ 操作一，再与 $b'$ 操作二的结果，等于先后与 $a'',b''$ 做操作一，二的结果，求这个 $a'',b''$”。
将 tag 视作代数结构，则 tag 之间能做乘法（只有结合律，一般不满足交换律），tag 对信息的乘法运算（或者说影响）满足分配律。
一般来说，tag 可被视作“特殊定义乘法”的矩阵，此时，信息也需变成对应类型的矩阵。矩阵乘法在半环上定义，因此许多 tag 合并规则可以统一为矩阵运算。
涉及空节点（空 tag）的 pushup（与 pushdown）需要特别注意，一般来说空节点被视为单位元。
类势能线段树。某特殊单点操作（或特殊元素）总计进行 $m$ 次。dfs 整棵线段树，对当前访问的节点，分别检索其两个儿子的子树内，是否存在“需要特殊单点操作的元素”（或存在特殊元素）。若有则递归该儿子。复杂度为 $O(m\log\frac{n}{m})$（$n$ 为线段树元素总个数）。
2.1 区间最值操作。查询 $\sum^r_l a_i$，修改 $\max(a_i,x)\to a_i,i\in [l,r]$。记录区间最小值和次小值。若 $x$ 在二者之间，则打标记更改最大值，反之若 $x$ 同时大于二者，就递归儿子。
主席树。
3.1 常选取时间轴、值域轴等作为主席树的版本轴。版本轴可以作为最外轴被独立维护。例如要同时修改主席树好几个版本的点值，可以用外层线段树套内层主席树。
3.2 区间修改等情况里，主席树标记下传需要额外建立节点。为了空间更省，常数更小，最好标记永久化。
3.3 多版本问题除了主席树，还可以建立版本继承关系树。
历史最值与历史和。
法一，每节点维护一个 max,+ 矩阵 [a,b,0]，其中 $a$ 表示当前的值，$b$ 表示到当前的历史最值。用 tag 维护操作，给每个节点放置 3*3 标记矩阵。但无法标记永久化，因为矩阵乘法有顺序。
法二，给节点维护时间戳，代表“最后一次对当前节点打标记的时刻”。标记永久化时，可以利用时间戳，使子节点给祖先做值上的贡献，假性“同步版本”。
单边递归线段树。线段树子节点 pushup 时，需要用到某一儿子一段前缀的信息。用法：尝试用区间前缀最大值序列描述区间答案。
线段树分治。将所有“删除”变为撤销上一步。可以维护“操作栈”，发挥作用时入栈，消除影响时从栈顶倒序消除，弹栈至空。线段树分治可以半在线，dfs 到某个时刻（叶子节点）后，依据此时的状态，对后面的时刻产生加边或删边的影响。
线段树卡空间，定期重构。
取消动态开点的办法：离线所有询问（然后离散化），统一预建树。
暴力跳父亲。平衡树或线段树上，已知节点编号，求在树上的相对位置（类似于平衡树上求特定节点排名，或 zkw 线段树），可以从它往上跳父亲。
平衡树带交并。相当于平衡树领域的线段树合并。若合并 $u$ 和 $v$，不妨设 $u$ 的权值更小，是合并后的根。需要将 $v$ 按照 $u$ 的变量值分裂成两个子树，分别与 $u$ 的左右儿子合并。合并平衡树的过程中，需要合并值相同的对应节点如下：
int A,B,C;split(v,t[u].v-1,A,C),split(C,t[u].v,B,C);if(B) fa[find(B)]=find(u);
线段树合并。复杂度 $O(\min (n,m))$。合并时，如果两棵树当前节点中，有任一个没有儿子，就特殊处理终止递归。反之则各自 pushdown，分别合并左右儿子（若某棵树只有一个儿子，pushdown 时建出另一儿子）。
线段树分裂。区间操作变为全局操作（也就是给待操作区间建立 $O(\log)$ 个虚点，从而具备一棵完整线段树的结构）。最后线段树合并回来。线段树分裂的复杂度是一次 $O(\log)$，而线段树合并每递归一下就减少全局上的一个节点，故其总复杂度为 $O(n\log V)$。分析“全局节点个数”为势能量从而计算复杂度的，在数据结构题目中很常考，如 QOJ9559 P5494。我认为线段树分裂能做的，大多用平衡树带交并也能解决。
定长分块中的线段树。涉及到相邻两块，前一块选 $i$ 后一块选 $j$ 要求 $j-i<C$ 的问题，不妨把两块叠合起来（有时将某一块倒序放置）建立一个线段树，就变成形如 $i<j$ 的限制。具体见 T-221。
线段树维护复合函数。输入代表传进的值，输出表示经过此区间之后的答案，每个节点相当于一个函数，子节点 pushup 相当于函数的复合。
分治，cdq 分治，猫树。其核心总在于用 $\mathrm{mid}$ 把元素划分成左右。两部分尽量解耦，但有时藕断丝连，需要先内部消化贡献和需求，再向对面请求。
14.1 猫树问题需要经过适当预处理，使得一个查询只访问一个节点就得到解决。允许考虑“与当前猫树节点有关的‘贡献点对’”，可能是指“被节点区间包含”，还可能含有“被当前节点某儿子区间包含的‘贡献点对’”。
14.2 类似决策单调性分治的办法，可广泛用于“$f_i$ 有单调性，同时求多个 $f_i$”的问题。
trie。
15.1 求一个数的前驱和后缀，本要用 set。用压位 trie，时间复杂度降至 $O(\log_w(n))$。取 $w=64$，即每个节点有 64 个子树。
15.2 01 trie 全局加一。只需从低位到高位建立 trie，全局加一时，每次将当前节点的左右子树互换，并递归进“一”子树即可，共计 $O(\log)$ 次交换。

§3.3 根号数据结构

一、分块

善用预处理。
查询的 $O(\sqrt n)$ 预算可能用于：
每块的末尾记录某值，每次从最近块的末尾递推到精确位置。
枚举 $i$ 所在块（$i$ 属于某整块）或者 $i$ 具体值（散块）。
卡空间。做贡献，一块一块做。就只需保存当前的块的预处理和标记，空间复杂度下降为 $O(n)$。
主体是 $(l,r)$ 点对。画在二维图上考虑。类似割补法，分情况处理。$l,r$ 均属于整块；$l$ 属于散块，$r$ 属于整块；$l,r$ 均属于散块。见 T-102-4。特别是散块对散块可以用归并的办法。
定长分块。“一段长 $\le c$ 的区间”的问题。每隔定值 $c$ 分段或设置关键点，这种区间最多跨过一个关键点。
块内-块外。本质是先处理块内关系，处理完后一致对外。
值域分块代替二分。扫描值域轴，一个块一个块地跳。当跳不过当前块（预算余量不足块内总价值）时，改为在块内一个一个跳，直到答案位置。
倍增分块。它适用于“对块 $[B^k,B^{k+1})$ 内元素的特殊操作，元素必然增加 $B^k$，故暴力进行特殊操作能够接受”的情形。顺带一提，把特殊操作拿出来分析，往往发现它进行的次数不太多，比如老哥或者根号量级。

二、莫队

带老哥莫队的优化。回滚莫队，值域分块，二次离线。
1.1 回滚莫队。虽能规避删除操作，但（例如按查询左端点分块处理）左端点所在块，必须能够维护“撤销上一步”操作（莫队过程：同一块内，$r$ 不停增加，但 $l$ 保持在当前块的右端点 $B_r$。每次查询时，令 $l$ 减小直到合适位置，然后查询。查询完后 $l$ 要归位）。
如果做不到“撤销上一步”，就应该考虑 $l$ 减小时不影响原数组的值，也就是把 $[B_r,r]$ 的状态复制一遍，在上面做正常修改（还是只加的），然后查询，最后把复制出的数组丢弃。
常见做法并非复制数组，而是通过某种方式，在不修改 $[B_r,r]$ 状态的情况下，直接算出 $l$ 减小一后的答案。
注意回滚莫队和定期重构基本相同，关键都在于如何“添加最后 $\sqrt n$ 个修改”。一般而言因为是每个查询添一遍，查询之间互不影响，所以这些修改的添加顺序是可以任意指定的。
并且因为是对一个块扫一遍全局，甚至可以针对当前块，个性化指定其扫描全局的方式。常见办法形如，把本块内的操作涉及元素高亮标出，特殊处理。或者据这 $O(\sqrt n)$ 个修改涉及的关键元素进行全局分段等，对照 T-070。
线段树分治又何尝不是这样，需要能够撤销上一步操作。
1.2 值域分块。修改 $O(1)$，查询允许 $O(\sqrt n)$。
1.3 二次离线。把 $O(n\sqrt n)$ 个查询离线下来，看能否 $O(n\sqrt n)$ 预处理 $O(1)$ 回答。
带权莫队。将 $l=x$ 的查询次数记录到 $a_x$ 处，从左往右扫计数器对 $a_i$ 累计求和，每当计数器大于 $\sqrt q$ 就新开一个块；每当本块长度大于 $\sqrt n$ 也要新开一块。如果存在某个 $a_x>>\sqrt q$，那么对 $l=x$ 的查询们特殊处理，扫一遍真正的“只删除莫队”（无需撤销上一步）即可。
高维莫队。比如三维状态 $x_1,x_2,x_3$，排序时用第一关键字是 $x_1$ 所在块，第二关键字是 $x_2$ 所在块，第三关键字是 $x_3$。注意要将大修改拆成单次只加入或删除一个元素的“单位修改”。

三、根号分治

常按节点度数，出现次数，连通块大小等根号分治。

问题涉及两元素间的关系，但是直接维护“任两个元素间的关系”是不可取的。可用根号分治把关系变成单向（从小型元素到大型元素）的。
如果某些元素的和是一个不大的定值（$10^12,10^5$ 分别代表 $O(\sqrt n),O(n\sqrt n)$ 的复杂度），不妨根号分治。有两个对称的结论：
2.1 大于 $\sqrt n$ 的元素仅 $O(\sqrt n)$ 个。
2.2 所有元素只有 $O(\sqrt n)$ 种本质不同的出现次数。
平衡复杂度。用若干种不同角度的暴力做法，分别处理自身适宜的数据范围。

§3.4 树

树上的主体，常见的就只有点，边，子树，连通块，树链（路径）这五种。
1.1 点减边容斥。常用于统计树上所有连通块的权值和。
1.1.1 01 权值：问合法连通块数目。用单点合法的数目之和，减去单边合法的数目之和。“单边合法”就是说边的两个端点都合法。
1.1.2 扩展权值：点集为树上连通块，但当点集为 $S$ 时，它对答案的贡献应为 $f_S$，不必须是 01。例如 $f_S=3|S|-2$ 时，就需要给“单点合法”赋权值一，并给“单边合法”赋权值二。显然 $f_S$ 是 $|S|,|S|-1$ 的线性组合时，总有一种给“单点-单边”的赋权方法。如果 $f_S$ 更加奇怪，就可能需要引入“合法子图”的概念，或者对于度数不同的节点赋予不同的权值了。
轴。
如果把“树轴”放外面，最常见的是合并子树信息（可以线段树合并），按 dfs 序扫描，按深度扫描，不常见的有按节点编号扫描等。
如果把“树轴”放里面，常见的有即时维护虚树，重链剖分并即时维护线段树，dfs 序拍平子树变成区间等。
树上路径问题。
3.1 树上差分。
3.1.1 普通的链求和，差分转化为三个到根链求和。有时可建立主席树维护“节点 $i$ 的到根链”。
3.1.2 虚树相关问题，有时把虚树拆成若干条到根链，以到根链为主体。有时要考虑不同到根链间的关系和贡献。例如：求一棵子树内是否有某种颜色，可以将所有有此颜色的点按 dfs 序排序，每点加一，每相邻两点的 lca 减一，答案即为子树内标记和。
3.2 一些对称（做贡献-受贡献层面）：单点改链求和，变成子树修改单点查询。类似地，链加单点查询，变成单点加子树求和。及二者的逆转化。链改可视为到根链改，从而对称成子树操作。
3.3 离线把路径挂到 $u,v,\mathrm{lca}$ 上。然后把“树轴”放外面。
3.4 树链剖分，或者点分治，见下。
树链剖分。
重剖几乎总是把每个点轻儿子，或轻儿子子树的信息合并上来直接挂在本点，然后用线段树去处理重儿子，及父亲方向的信息。
4.1 重剖维护树上 ddp。
4.2 带修邻域查询问题，经典重剖解决。注意“k-邻域”“连通块”是差不多的。
4.3 子树邻域查询，提示长剖。
点分治。
分治是在分治中点考虑“所有跨过该中点，且被当前分治区间包含的区间”。点分治是在分治重心考虑“所有包含该重心，且被当前分治树包含的连通块，或链”。用于解决树上路径或连通块问题。
其他。
6.1 建立虚树，将关键点按 dfs 序排序，求出相邻元素的 lca，将所有 lca 加入到序列，并再次排序，然后将新序列相邻两元素的 lca，向后一元素连边即可。
6.2 树上区间 lca，等于区间内节点中 dfn 最小的，和最大的，二者 lca。也等于（编号）相邻两点 lca 深度最小者。
6.3 树上莫队。把括号序分块，在括号序上跑莫队。
6.4 一条到根链上的点权依次临时加上 $k,k+1,k+2,k+3,...$。先把所有点权减去该点深度（或者加上深度），转换为到根链临时加上 $x$。

§3.5 字符串

字符串题经常用 kmp 刻画 border，用 manacher 刻画回文，用 sa 去刻画子串相同的限制。
如果问题与若干个字符串的公共前缀有关，可以尝试建立字典树，转换成树上问题。
如果问题与子串或子串间的公共前缀有关，可以尝试 sa，利用 height 数组转化成直方图问题。
如果问题对字典序做出限制，一般方法是枚举 lcp 再枚举第一个不同的值。比较字典序大小也是这个思路，二分 lcp 长度，哈希判断。比较字典序还可考虑逆排列。

border 是 $s$ 的一个相等前缀后缀。它具有如下性质：
若 $L$ 为周期，则 $[1,n-L]$ 为 border，反之亦然。
定义 kmp 数组 $f_i$ 表示前缀 $i$ 的最长 border 长度。如果要求出所有 border，只需不断跳到 $f_i$ 即可（因为 border 的 border 还是 border）。连接 $i,f_i$，建立“border 树”，则前缀 $i$ 的所有祖先就是这个前缀的所有 border。
若存在 border，则其最短 border 长度不超过字符串长度的一半。
若有周期 $p,q,p+q\le |s|$，则有 $\gcd(p,q)$ 也是周期。
$s$ 所有长度不小于 $\frac{|s|}{2}$ 的 border 构成等差数列。证明取最长 border 长为 $n-p$ 和任一其它 border $n-q$，则 $p,q$ 为周期，$p+q\le |s|$，故 $\gcd(p,q)$ 为周期，这样，$n-\gcd(p,q)$ 也是 border，故 $\gcd(p,q)=p$，$q$ 是 $p$ 的倍数。容易证明所有 $n-kp$ 都能取到。这相当于说，不停地跳 kmp，跳一段等差数列之后，得到了一个小于 $\frac{|s|}{2}$ 的 border，对于这个东西，再跳一段等差数列，当前 border 缩减一半。故可以把 $s$ 的所有 border 按照长度 $[1,2),[2,4),...$ 分段，每一段都是等差数列形式的。

AC 自动机。建立 fail 树。这棵树类似于把所有建立进去的字符串求了一个 border 树。常用结论：
一个单词在匹配串 $s$ 中出现次数之和，等于它在其所有前缀中作为后缀出现的次数之和。
和字符串 $s$ 的某个后缀的单词数量，就是 $s$ 对应的 AC 自动机节点 $p$ 向根的路径上，以每个点结尾的单词数量之和，常常需要预处理，存到 $f_p$ 中。

§3.6 其他

倍增。对每个元素求出（最优）后继，每个元素传向它的后继，倍增加速。
1.1 有两种对称的分块平衡方法，分别对应两种倍增。一种是以“步数”为状态，以“位置”为答案，处理“从 $x$ 开始，跳 $\sqrt n,2\sqrt n,...$ 步到哪里；从 $x$ 开始，跳 $1,2,...,\sqrt{n}-1$ 到哪里”。另一种是以“位置”为状态，以“步数”为答案，处理“从 $x$ 开始，跳多少步跳出当前块；跳出当前块后第一个跳到的是哪里”。
启发式合并允许“陪跑”。枚举小一边的同时，可以枚举大一边的等量元素。
baka's trick。如果双指针不便维护删除，可以维护 $\mathrm{mid}$ 分别到 $l,l+1,...,\mathrm{mid}$ 和到 $r$ 各自的值，每一次增加 $r$ 直接操作；增加 $l$ 可以直接调用 $l+1$ 即可；如果 $l>\mathrm{mid}$ 令 $\mathrm{mid}=r$ 然后重构即可。
十字链表。可以维护元素邻接相对位置。在元素邻接相对位置变化不大时可以处理，见 SNOI2024 矩阵。
并查集。
5.1 类链表并查集。常见于染色，或覆盖问题中。多次把一修改为零，询问“某位置后面首个是一的位置”。
5.2 可撤销并查集。放弃路径压缩即可。
5.3 可持久化并查集。用主席树维护并查集数组。
5.4 带权并查集。用标记。如果要支持撤销，可以维护永久化标记数组，使得任意时刻一个点的价值，就是从它到根的标记之和。
5.5 倍增并查集。记录 $fa_{i,j}$，使 $j$ 指代一段连续的长为 $2^j$ 的区间。对每一次区间覆盖问题，二进制拆分这个区间，在相应子区间大小的层级，维护并查集区间染色。最后较为暴力地由 $j=30,29,28,...,0$ 递减向下传递并查集信息，于 $j=0$ 层查询即可。用于解决“要求两个区间内的元素对应相等”。
5.6 种类并查集。每个点拆分成，举例说，两个点。$a$ 表示“朋友类”，$a+n$ 表示“敌人类”，遵从“朋友的朋友是朋友”“敌人的敌人是朋友”的规则，用以合并。

第四章图论

§4.1 一般方法

建图的时机：当限制非常复杂、看不出轴（也就是转移顺序混乱，限制方向复杂时），可图论建模。
有两个长度相同的数组时，不妨令 $a_i\to b_i$。特别是只有一个数组时，不妨令 $i\to a_i$。
若题目给出类似“边权邻接矩阵”的矩阵，尝试建图。

找出题目图的特殊性质
1.1 原图是不是：树，仙人掌，dag，竞赛图，平面图，广义串并联图，弦图等。
1.2 缩点处理后，一个分量内部是否具备良好性质。考察一个分量内部的性质，可以利用子图添点法。
子图添点法本质上是通过调整法找多元限制。
1.2.1 耳分解-子图添点法。例如在某道题中：对一个点双，若是个环显然合法。添一个耳，发现这个耳只能是一条边，而不是一条路径。同时，不允许两个耳“相交”。因此，一个点双形如一个“大环”上多连了一些互不相交的边。
1.2.2 同胚-子图添点法。常见的一些特殊图的定义是用“不存在子图同胚于图 $G'$”来给出的。“同胚”的意思是，经过若干次缩二度点，可以使得两图完全相同。例如广义串并联图：不存在 $K_4$；平面图：不存在 $K_5,K_{3,3}$。
例如在某道题中的操作流程：假设“不准与之同胚”的图为 $G'$，从三元环开始尝试，三元环本身是不够的。添点可得，合法点双不包含同胚于 $K_4$ 的子图，这意味着每个点双都是广义串并联图。
尝试缩点。建立点双缩点树，圆方树，或强连通分量缩点 dag。
2.1 关注连通性，尤其是涉及到删点时，注意割点-圆方树。
建立生成树。
扩展版广义串并联图方法。不断缩合、删除点或边，达到简化图的目的，原图不拘泥于无向图，缩合删点方式自定义。拓扑排序，还有广义串并联图方法，都是例子。
4.1 当元素的度数小，小到足以看出它没有用，或者用途能够被一眼看出时，就应该缩合或者删除。
4.2 让一个点、一条边承担一个原子图的责任。例如令一个缩合而成的点权存储“它表示的原子图的信息”，边权亦然。
4.3 $m-n$ 很小的一类图，经过广义串并联图方法处理后，点和边数都会极小。另外补充，也可建立生成树，将非树边及相关端点都拿出来，建立虚树之类的。
采用数量关系（点数，边数，度数）来考察图的状态。
尝试归纳。按照某种顺序逐渐添点和边，或者逐渐删点和边，递归成规模恰好小一的子问题。

§4.2 具体方法

一、元素取值限制问题

对非 01 元素取值的限制。
1.1 限制呈变量加和形，求合法解或字典序最小解，差分约束。
1.2 限制呈变量加和形，给变量赋值有代价，最小化总代价。切糕模型。
1.3 拆点 2-sat。对元素 $x$ 拆 $O(V)$ 个点表示 $[x\le a]$ 的 01 性（值域大？离散化；证明只有很少的数字有用）。
二选一问题。
2.1 网络流，采用集合划分模型。另外补充，“团”的限制会令人想到“最小团问题”，从而想到集合划分模型。
2.2 网络流，给一次决策建立虚点，向两个可能的选项连边。
2.3 转化为类 2-sat 问题。
2.4 在选项之间连边，转化为给边定向的问题。
类 2-sat 问题。
3.1 2-sat。注意逆否命题也要连边。
3.2 二分图，扩展域并查集。要求是 2-sat 边无向，即若 $a$ 推 $b$ 则 $b$ 推 $a$。好处在于一个连通块仅两种黑白染色方法，可以计数。

二、特殊图

树。
1.1 确定一棵有根树的信息，本质上相当于确定各个节点的父亲分别是谁，或者确定每个节点的儿子分别有谁。
1.2 无根树问题要先定根，一般不是随便定，而很可能是定在重心，直径端点，直径中点等。
1.3 直径的性质。
1.3.1 直径的性质。任一点的树上最远点是直径端点之一。两棵树合并后的直径仍在四个原直径端点内选取。
1.3.2 中点的性质。最长链次长链一样长。每个点向离它最远点的路径必过中点。不断删除一度点，最后删除的是直径中点。
1.4 重心的性质。
1.4.1 节点（可带点权 $w_i$）深度之和最小，即 $\sum w_i\mathrm{dep}_i$ 最小。
1.4.2 以重心为根，最大子树不超过 $n/2$。因此“定向”问题中，常常让一些子树成为“全入”子树，另一些为“全出”子树。
1.5 树上任两连通块的交和并都是连通块。任两条路径的交仍是路径。
1.6 树上覆盖问题，大多都是贪心题目。每次贪心地选择最深的一个应该覆盖，但尚未被覆盖的节点。在能够覆盖它的节点中，选择深度尽量浅的一个来覆盖。
1.7 树上选择 $k$ 条路径，使它们的并集最大。长链剖分。
环。
2.1 找环，常常缩点，或 dfs 树，或拓扑排序求出。
2.2 破环为链。有向图里常常体现为 $x\to y$ 的一条边和 $y\to x$ 的一条路径。或者两条路径。
仙人掌。
建立圆方树。每个点双都是环。按照环上顺时针等顺序，排列一个方点的全部圆儿子，然后逐个 dfs 之类的。
竞赛图。
4.1 若有环，则必有三元环，可由环上的“弦”去逐步缩小环，得三元环。
4.2 竞赛图和完全图常常归纳构造。
4.3 竞赛图缩点后呈一条链。
4.3.1 兰道定理。将竞赛图依出度从小到大排序，记度数前缀和 $s_i$，则强连通分量是一个区间，是且仅是相邻的 $s_i=\binom{i}{2}$ 的位置。图是竞赛图当且仅当 $\forall i,s_i\le \binom{i}{2},s_n=\binom{n}{2}$。
4.3.2 每个强连通分量内有哈密顿回路，可先找出任一三元环后，逐步将边扩展成“一边镶嵌一点”，能扩展就扩展。
4.3.3 竞赛图存在哈密顿路径。
4.5 竞赛图上任两个度数分别为 $d_x>d_y$ 的节点 $x,y$，满足 $x$ 至多两步能到 $y$。因 $x$ 向外连的邻域节点，若 $x$ 经该节点不能到 $y$ 则 $y$ 也向它有边，何况 $y\to x$，故 $d_y>d_x$ 矛盾。
4.5.1 竞赛图三元环可以枚举 $d_x>d_y,y\to x$ 的边得到。
平面图（任意两条边可以不在节点以外的地方相交的无向图，或者“不存在五元团、三-三完全二分图”同胚子图的无向图）。
5.1 平面图的欧拉定理。它将平面划分为 $r$ 块，则 $r\le n$。设原图有 $p$ 个连通块，则 $n-m+r=p+1$。故 $m$ 是 $O(n)$ 量级的。
5.2 建立对偶图。如果是有向平面图，可以面朝原图边的方向，让对偶图边从原边的左向右垂直穿过。
5.3 网格图上连通性问题，及最短路，常转化为障碍物路径问题，及最小割。考虑怎样的两个障碍物之间能连边（有边才能讨论路径），换句话说，找出“障碍物构成的路径”中“相邻障碍物”的性质。枚举这两个障碍物的相对位置，并想象按照网格图边，从此两个障碍物的“中间”穿过（取两个障碍物的重心，连接，取连线中点，假设站在连线中点周围的某网格图点上，看能否按照近似于“垂直连线”的方向，从两个障碍物间穿过）。如果不能，这两个障碍物可以视作建立了边。
广义串并联图（不存在四元团子图，它也是一种平面图）。
用广义串并联图方法缩任意 $m-n=k$ 的图，可得点数 $2k$，边数 $3k$ 的小图。
欧拉图。
7.1 欧拉子图计数，找出连通块内任一生成树，答案就是二的非树边次方，即 $2^{m-n+c}$，$c$ 是连通块个数。用自由元的办法证明。
自由元构成集合的性质（充要条件）是：第一，若知道这些元素各自的值，则唯一确定剩余所有元素的值（依据题目给定的限制推出）。第二，这些元素各自独立取值，无论怎样取，都不会因为和题目限制冲突而不合法。
若存在约束条件，不妨把“若确定 $x$ 则确定 $y$”的关系化成边（间接的也连边），自由元数目就是最小点覆盖。
如果是二值问题，把“$x$ 与 $y$ 取值相同”的关系化成边，自由元数目就是缩点后 dag 上的点数。见 CF1889E。
如果是线性基，例如求在整数集合 $S$ 中取子集异或成 $a$ 的方案数，自由元数目就是线性基外的元素数目。
如果是方程组，自由元数目就是高斯消元后，总未知数数目减去有效方程数。
自由元往往是关键元素、边界元素，例如树边、网格图上的边框等。
7.2 欧拉回路。
7.2.1 欧拉回路保证了对任一连通子图，出入度是尽量平均的。目标是让某值平均，就要求我们把这个值和出入度一一对应。
7.2.2 遇到“度数奇偶性”应该有所敏感。要求每条边恰好经过一次，或者要做边定向，也要想到欧拉回路。

三、网络流与二分图

最大流。其建图一般是二分图或分层图。让边只在层间连接，表示一次“配对”或称“选取”，而层内的边通常至多构成一条链之类的。所以说对于网络流题目，要有意识地通过拆点构建“匹配”。
1.1 根据（黑白）染色方法（按节点编号奇偶性，或剩余系分组），行列建点，出入度虚点（如 T-184）的套路，将元素分为若干部分，每部分就是一层。
1.2 根据时间，某种资源量的值，或某种“特殊工具”的“当前剩余使用次数“，进行拆点，建立分层图。
1.3 用两遍残量网络 bfs（起点终点各一遍），即可对所有 $i$ 求出，经过 $i$ 是否存在增广路。
1.4 输出最大流方案。求出残量网络后，每次 dfs 模拟一条流，能流就流，将残量网络稍微还原即可。
1.5 逐步修改原图，在上次跑完的残量网络上继续。
最小割。
2.1 路径不通模型。每一条从源到汇的路径上，必须有一个边割掉。见 T-113-2。
还可用于解决“限制某个集合内，至少有一个元素不存在”的问题。建图目标就是把这些元素串成一条从源到汇的路径，可以拆点表示代价。但顺序不能乱，否则可能存在意想不到的路径，它们也是从源到汇故必须割，但原题可能没有该限制。为避免之，往往需要分层，要求同层任两个元素，不同时处于任一个路径内。
2.2 集合划分模型。
二值问题，每个点要么划给 $S$，有 $a_i$ 的代价，反之划给 $T$，代价 $b_i$。两点 $u,v$ 不在同一集合，代价 $c_{u,v}$。求最小代价。
最小割建图，每个点连 $S$ 容量 $b_i$，连 $T$ 为 $a_i$。点间连 $c_{u,v}$ 双向边。最终看残量网络，凡是容量不为零的边视作连通，则 $S,T$ 分别所在连通块里包含的点，就是集合划分结果。
若 $a_i,b_i$ 中有小于零的，令 $a_i,b_i$ 均加上偏移量使之大于零，求出答案后减去偏移量即可。若 $c_{u,v}$ 全小于零，可将 $a,b,c$ 全都取反，然后转化为 $a,b$ 中有负值的问题。
2.3 切糕模型。
2.4 输出最小割方案。看残量网络，凡是容量不为零的边视作联通，可求出 $S,T$ 分别所在连通块。这两个连通块之间连的边都是在最小割上的。
模拟网络流。
3.1 模拟费用流，详见 T-118。
3.2 模拟最大流，或模拟最小割。描述与 $s,t$ 分别连通的集合，不能有交。如果某一层的边数非常少，常枚举这一层的边有哪些割掉，以此为基础考虑剩余的图。
偏序集的最小链覆盖。定义：链，一个子图，任意两个点都可比（可跳过一些中间点，不是图论中的路径）。反链，一个子图，任两个点都不可比。建新图，一个点向其所有原图后代连边，求 dag 最小路径覆盖即可。
4.1 dag 最小路径覆盖。每个点拆成出入两点，有向边 $u\to v$ 就是从出 $u$ 到入 $v$。求最大匹配后，凡是在最大匹配上的边，就代表 $u,v$ 处于同一链。
4.2 最长反链等于总点数减去最小链覆盖。例如要证明，如果原序列能分成两个上升子序列，则它的最长下降子序列长度至多为二。对所有 $i<j,p_i<p_j$ 建边，则条件就是“最小链覆盖”为二。“反链”是不可比子图，这要求此子图中，不能存在任一两个元素满足 $i<j,p_i<p_j$，“反链”也就是下降子序列，其长度至多为二。
二分图。
5.1 对于二分图给定度数序列后的构造问题，Havel–Hakimi（哈基米）算法。针对一类“给定度数序列的图构造”问题，基本都是先处理大度数顶点。对于任意两点都可连边的二分图，其算法应为，从左部点、右部点中各自选择当前度数最大的点，并把它们相连。这种二分图的有解判定性问题，可以使用 Gale–Ryser 定理。将 $p,q$ 各自从大到小排序，则有解当且仅当 $\forall i,\sum_{j=1}^i p_j\le \sum \min(q_j,i)$。等式右边的意思是，如果所有右部点都尽量往左部点度数前 $i$ 大的点连边，最多能连多少，如果即使这样都连不够，肯定无解。如果满足上述性质，就用哈基米算法直接构造了。
5.2 一条匹配边恰一个端点属于点覆盖集。最大独立集是最小点覆盖集的补集。最大团是补图最大独立集。都能转化为集合划分模型（每个点选入或不选入解集）。
5.3 霍尔定理。对二分图 $(A,B,E)$，最大匹配数是 $|A|-\max_{S\subseteq A}(|S|-|N(S)|)$，$N(S)$ 为连向 $S$ 的邻域。

四、其他

最短路。
1.1 最短路树和最短路 dag。
1.2 spfa 求得的解恰为差分约束字典序最大解。“字典序”限制，肯定有另外要求导致变量有界，如 $a_i\le 0$，建虚点表示值“零”即可。要求字典序最小时，此类有界限制必然是 $a_i\ge 0$，解法是考虑 $0\ge b_i=-a_i$ 间的关系，直接对 $b_i$ 求最大字典序，然后全取相反数处理。
拓扑排序。
2.1 可以处理“$x$ 比 $y$ 早”的限制。拓展应用见 T-032。
2.2 反图也是 dag，只需关心当前访问到的点在反图中的 dfs 序，倒过来就是正图拓扑序。选一个超源点作为起点 dfs。每次 dfs(x) 时候，先访问其所有反图上的（未访问过的）儿子，回溯时 ans[x]=++timr。timr 就是“当前访问过反图多少节点”，而拓扑序/反的 dfn[x] 当然也就是这个。若可以高效维护当前点“没有访问过”的反图儿子，则此方法有效，见 CF798E。
生成树。
3.1 最小生成树。
3.1.1 一条非最小生成树上的边 $(u,v)$ 有可能在最小生成树上，等价于 $(u,v)$ 间树上路径中最大值的最小值等于边 $(u,v)$ 的值。
3.1.2 Kruskal, Prim, Boruvka 三者其一用于求出特殊图的最小生成树。
3.2 无向图 dfs 树。
3.2.1 没有横叉边。
3.2.2 每条非树边形成一个简单环。任两点 $x,y$，二者之间的所有路径均可以通过“某一路径”异或若干简单环得到。有向图没有类似概念，但是强连通图有。具体来说，dfs 树建出后，每条非树边可能形成一个简单环。任两点 $x,y$，二者之间的所有路径均可以通过“某一路径”加上（走这个环回到起点，然后走剩余的路径）若干简单环得到。也就是说，两者之间的路径长度 $l'=l+\sum k_ir_i$，$k_i$ 为任一整数，$r_i$ 为环长。
博弈论。
4.1 dag 游戏。公平博弈（同一位置双方可以选择的下一步位置集合相同），能从一个状态走向另一个状态就连边，结果图是一个 dag，两人轮流操作，谁无路可走就输/赢。
初始化时，记录所有状态的出度，出度为零的压入队列，并根据游戏是正常规则或是反常规则，分别设为必败或必胜。弹出队首。如果是必败状态，则设前驱状态为必胜状态。否则，当前状态必胜，所有前驱的出度减一，并将出度为零的前驱设为必败状态。将可以判断胜败的前驱状态压入队列。队列为空时终止。尚未判断胜败的均为平局。
4.2 二分图博弈。给一张二分图和起点，两人轮流操作，每次操作只能选择与上一个被选的点相邻的点，不能选已选过的点，无法选的人输，问先手是否必胜。考虑二分图所有的最大匹配，若都包含了起点，则先手必胜，否则必败。
求匹配必经点是经典问题。先跑一遍匹配，从每个左部非匹配点出发，遍历它的所有右部匹配点邻居对应的左部匹配点，则所有被遍历到的左部匹配点均为非必经点，因为从它们开始存在交错路径使得终点为非匹配点。为了不选该匹配边，顺次将匹配边换成路径上一条边即可。
4.3 反常游戏（先手要把自己送死才算赢），先手必胜当且仅当游戏的 sg 函数不为 0 且游戏中某个独立游戏的 sg 函数值大于 1，或者游戏的 sg 函数为 0 且没有某个独立游戏的 sg 函数大于 1。
4.4 很多题目中，先思考“我如何赢”，再思考“我如何不让别人赢”，即“如何逼平”。
优化建图。
5.1 区间向区间连边，可以转化为区间向虚点连边，再由虚点向区间连边。
5.2 对连出边的区间，拆成了 $O(\log n)$ 个线段树上节点，“入”区间亦如是。让每部分各 $O(\log n)$ 个点互相连边，呈完全图状，如 ABC414G。
5.3 动态删点，一段区间的点向 $i$ 连边。主席树优化建图。二维偏序建图也可扫描某一轴后转化为上述过程。
5.4 前后缀优化建图。
5.5 最好的优化建图就是不实际建图，例如拓扑排序，只需数据结构动态维护 ind 的变化，每次不断找出下一个 ind 等于零的入队，未必得真建图。
点边互相转换。对于“点”是一种序列，有一种转换技巧是，原来的点只保留前面几位，将最后一位作为边，表示点点之间的联系，例如 De Bruijin 序列中哈密尔顿路与欧拉路径间的转换。
将一个点双划分成两个部分，要求各自连通的问题。做双极定向。

第五章数学

生成函数详见 T-101。

§5.1 式子

式子一般如何化简？

转换贡献主体，递推，改变求和顺序。在外层求和枚举的变量，当作常量从内层求和中提到外，内外层解耦的同时内层当作函数预处理。
在求积式中，乘除的地位与和式中的加减相同，乘方的地位与和式中“乘上系数”的地位相同。所以在和式中常见的 $\sum(a-b)=\sum a-\sum b,\sum ka=k\sum a$ 在求积式中均有类似物。更进一步地，可以通过 ln/exp 把求积式转化为和式。事实上可以手动写 ln 后对和式做适当的变换，然后手动 exp 回来（这就避免了对积式做操作），并不需要运用多项式。
组合数公式套用。
2.1 $\binom{n+1}{m+1}=\binom{n}{m}+\binom{n}{m+1}$。
2.1.1 组合数的列前缀和。
2.2 $\binom{n}{m}\binom{m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m-k}$。
2.3 范德蒙德卷积。
2.4 二项式定理。
2.5 卷积技巧，把系数摊到 $i,j,i\ \mathrm{op}\ j$ 上去，见 T-100。
2.6 若有系数在组合数前面，就把它弄到组合数里面。典例：$t\binom{x}{t}=x\binom{x-1}{t-1}$（或形如 $P(t)\binom{x}{t}$，$P(t)$ 是任意多项式）。
2.7 上大下小的组合数，视作关于底下的多项式。把原式拆成 $\sum_i f_ix^i$，再将 $i$ 的求和顺序提前即可。
2.8 可尝试对每个组合数，求出其对答案的贡献系数。
2.9 第二类斯特林数。
2.9.1 $S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i}\binom{m}{i}i^n$，$S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)$。如果发现 dp 式与斯特林数递推式相似，还可以逆用递推式，把求 dp 数组值改成求通项之类的。
2.9.2 $n^k$ 可以用第二类斯特林数做掉，$n^k=\sum S(k,i)i!\binom{n}{i}$。搭配带权方案数权值转方案数的组合意义来应用，不用转成“在 $i$ 个元素中选可重 $k$ 个”，而是“在 $i$ 个元素中选不重 $k$ 个”。
组合意义。
3.1 选取元素模型。把和式看作某种“选小球过程”的方案数。
3.2 格路计数模型。有时发现 dp 转移式与求解格路计数时等价，可以把求 dp 数组值改成求组合数学和式。
3.3 带权方案数的权值，用组合意义弄到方案数里去。
3.4 把多项式乘开的过程，可看作是在各多项式中选择一个单项式乘到式子里，并把得到的多个式子求和。如 T-096。
涉及 min/max 的公式。
4.1 在处理多重嵌套的 min/max 式子（仅一种运算）的时候，常把嵌套拆开，变成仅一层的。
4.1.1 min,max 混合运算属于非交换半环，可以将长式子拆除嵌套变为 $\max(a,b,c,...\min(e,f,g,...))$。
4.2 $\min(a,b)=-\max(-a,-b)$。
4.3 $\max(t+i,t+j)=t+\max(i,j)$。
4.4 $\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}$。
4.5 如果 max/min 里面只有两项，不妨分讨二者的关系，转化为大小比较问题。
4.6 一般希望 max/min 中一元只含一种未知数，像不等式分参。例如 $\sum\sum \min(a_i-a_j,b_i-b_j)=\sum\sum (-a_j+b_i+\min(a_i-b_i,a_j-b_j))$。
绝对值。
5.1 $|x|=\max(x,-x)$。
5.2 转组合意义，视作数轴上的欧几里得距离。或者画位置-值域二维图线，视作“折线图上下坡”。
5.3 处理多重嵌套绝对值式子时常把嵌套拆开而只关心（或描述）元素前的系数。
5.4 $\sum |a_{i+1}-a_i|=(a_n-a_1)+2\sum_{a_i>a_{i+1}} (a_i-a_{i+1})$。

§5.2 容斥

题目给定一族对元素取值的限制 $R$。可以自定义“严格度”，任两个限制的“严格度”存在偏序关系（具备传递性），也可能不可比。对它的定义必须非常谨慎，使得：
对于任一方案，能唯一找出它在 $R$ 中满足的最严格的限制 $x$（不存在另一个它满足的限制 $y$ 使得 $y$ 比 $x$ 严格）。
方案的权值，是只跟 $x$ 有关的某个已知 $p(x)$。
记权值为 $p(x)$ 的方案共 $f(x)$ 种，则答案就是 $f(x)p(x)$。但发现 $f(x)$ 极其难算。
不过“满足限制 $x$”的方案数 $g(x)$ 好算。现希望给 $x$ 配上容斥系数 $q(x)$ 使得 $\sum f(x)p(x)=\sum g(x)q(x)$。
计算方法是，$q(x)=p(x)-\sum_{y<x}w(y|x)q(y)$，其中 $w(y|x)$ 表示任一满足限制 $x$ 的方案，是否一定也满足限制 $y$（即，被 $g(x)$ 统计的方案一定被 $g(y)$ 统计）。
有时用 dp 处理 $\sum_{y<x}w(y|x)q(y)$。如果算系数的速度还不够快，就需要打表看规律了。
千万注意，因为偏序关系自定义，所以 $w(y|x)=[y\ge x]$ 并不总是成立。

反演是指，题目给定限制族，然后自定义偏序。现在已知 $g(x)$ 想要求出 $f(x)$。
一般按照偏序关系从小到大枚举 $x$，$f(x)=g(x)-\sum_{y<x}v(y|x)$，其中 $v(y|x)$ 表示同时满足 $y,x$ 两个限制的方案数有多少，计算 $v(y|x)$ 的时候可以自选调用 $f(y)$（指定的偏序关系要比较合适，使得 $v(y|x)$ 容易计算）。反演常应用于，题目询问所有 $f(x)$ 的情况下。用反演，就不能得到那个独立于方案数的系数 $q$ 了。
扩展上述容斥，可处理反演擅长的问题。更改 $w(y|x)$ 的定义为“概率”（而非 01 变量），也即在满足限制 $x$ 的条件下，同时满足限制 $y$ 的条件概率。

集合划分容斥是一个特例。若把全集 $U$ 恰好划分成元素 $x_1,x_2,...$ 的权值是 $p(x)=\prod P_i(x_i)$，方案数是 $f(x)$，求加权和 $\sum f(x)p(x)$。
易求出集合至少划分成元素 $x_1,x_2,...$ 的方案数（也就是说 $x_i$ 内部可能还有划分）$g(x)$，想配权值 $q(x)=\prod Q_i(x_i)$。
定义幂级数 $A=\sum_i Q_i(x_i)y^{x_i},B=\sum_i P_i(x_i)y^{x_i},C=\sum_i G_i(x_i)y^{x_i}$。
若存在某组合构造方法对应的幂级数变换 $H$ 使得 $g(x)=[y^U]H(C)$ 且 $\sum w(y|x)q(y)=\prod_i [y^{x_i}]H(A)$（这两个会同时成立，是“集合划分”的性质保证的），故 $[y^x]B=[y^x]H(A)$。
至于为何 $q(x)$ 也可以把多个小限制分开独立计算，最后再乘起来？这是集合划分问题的内禀属性使然。
集合划分容斥运用生成函数能够解决的问题，当然也能拿通用的 dp 方法至少给出一个暴力，具体方式就是考虑所有把一个元素 $x_i$ 划分成若干其它元素的方案 $x'$，它是把原来的元素划分成了 $x'_1,x'_2,...x'_n$，则 $Q_i(x_i)=P_i(x_i)-\sum_{x'}\prod Q_j(x'_j)$。

题目的限制族不明显时，需要自己构造合适的族。问题只有一个目标（只有一个特殊的 $p(x)$ 不为零），则定义限制族时，可以把问题的目标限制（没有怎样的元素/没有怎样的关系）拆成若干单点/双元小限制，然后此限制族的某个大限制就应该是，在所有可能的小限制构成的集合中，挑选一个子集，囊括其中的所有小限制。很特别地，我们常常把所有限制取反面，然后定义限制族，这是为了方便求 $g(x)$。

我们最后用这套理论，推导一下数论莫比乌斯函数。此场景下，限制族 $R$ 中的每个元素都是一个数字 $x$，用于限制“某元素应该是它的倍数”。
若 $p(x)=[x=1]$ 那么可以推断 $q(x)=-\sum_{y|x,y\neq x}q(y)$，从而 $q$ 就是莫比乌斯函数。
那么为什么 $\sum_{d|x}q(d)=[x=1]$ 呢？因为我们在此更换了主体，如果以一个顶格满足限制 $x$ 的方案为主体，那么它总计被所有 $d|x$ 的限制计入过，它对答案的贡献系数就是上述 $\sum_{d|x}q(d)$，而这个东西就是 $p(x)=[x=1]$。

一切容斥题目在经过容斥转化后，要解决的都只剩下带权计数问题，可关注权值的组合意义，乘进方案数里。
很常见的一个优化是，找出容斥系数必定为零的方案，并将其剔除掉。

§5.3 数论，变换与反演

积性函数是指，若两个数 $x,y$ 互质则 $f(x)f(y)=f(xy)$ 的一类函数。可以通过欧拉筛求出积性函数，只有形如 $f(p^k)$ 的地方（$p$ 是质数）必须手动求解。对每个数 $x$ 筛出其最小质因数 $p$ 和它在本数中出现的次幂数 $k$，则 $f(x)=f(p^k)f(\frac{x}{p^k})$，用这个递推式去计算。
狄利克雷卷积，$(f*g)(i)=\sum_{d|i}f(d)g(i/d)$。
2.1 单位元是函数 $\epsilon(i)=[i=1]$ 满足 $(f*\epsilon)(i)=f(i)$。狄利克雷卷积有交换律，结合律，对加法的分配律。
2.2 积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数。因此其狄利克雷卷积可以线性筛。
2.3 给函数求逆与多项式求逆一致，积性函数的逆元是积性函数。
2.4 狄利克雷前缀和 $s(i)=\sum_{d|i}f(d)$，用高维前缀和的做法去做，每一维就是一个质数即可做到 $O(n\ln\ln n)$。
2.5 gcd 卷积 $h_i=sum_{\gcd(j,k)=i}f_jg_k$。类似 FWT 做变换 $f'_i=\sum_{i|j}f_j$，则 $h'_i=f'_ig'_i$。求容斥系数可得，其逆变换是 $f_i=\sum_{i|j}\mu(j)f'_j$。所谓快速 gcd 卷积 FGT 就是狄利克雷后缀和，IFGT 就是逆回来的狄利克雷后缀差分，类比 FWT,IFWT。
莫比乌斯反演。
3.1 定义莫比乌斯函数 $\mu(x)$，若 $x=1$，则 $\mu(x)=1$。反之，若 $x$ 有任意一个质因子出现超过一次，则 $\mu(x)=0$。反之，若 $x$ 有 $k$ 个不同质因子，则 $\mu(x)=(-1)^k$。可以用欧拉筛求得。
3.2 几乎只有 $[x=1]=\sum_{d|x}\mu(d)$ 是重要公式。
3.3 莫反常用于处理 gcd 有关问题，可以把 $\sum_{x,y} [\gcd(x,y)=t]$ 转化为 $\sum_{d|(x/t),d|(y/t)}\mu(d)$。接下来一般是改换主体，改为枚举 $d$（或者说把 $d$ 的求和顺序置于更前），求合法 $x,y$ 有多少，形如 $\sum_d \mu(d)\sum_i\sum_j$，这里枚举的 $i,j$ 实质上就是枚举 $x,y$，其中 $id=x,jd=y$。
3.4 莫反后期常常得到形如 $\sum_d \mu(d)G(d) \sum_i F(di)$ 的式子。随后可以改变求和顺序，枚举 $T=di$，相当于 $\sum_T F(T)\sum_{d|T}\mu(d)G(d)$。$\sum_{d|T}\mu(d)G(d)$ 一般是积性函数，可以欧拉筛求得。
欧拉反演。
4.1 几乎只有 $n=\sum_{d|n}\varphi(d)$ 是重要公式。
4.2 欧拉反演的应用范围，和莫比乌斯反演多有重叠。例如求 $\sum_{i=1}^n \gcd(i,n)$，莫反是枚举 $\gcd(i,n)=k$ 得到 $\sum_k\sum_i[\gcd(i,n)=k]=\sum_{k|n}\sum_{i'k\le n,i=i'k}\sum_{d|k}\mu(d)=\sum_{k|n}(\sum_{d|k}\mu(d))\frac{n}{k}$。而欧反是，$\sum_{i=1}^n\sum_{d|\gcd(i,n)}\varphi(d)=\sum_{d|n}\varphi(d)\frac{n}{d}$。
4.3 实际上 $\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(n)$。

设 $a^x\equiv 1\mod m$，则最小的 $x$ 称为 $\delta_m(a)$，也就是 $a$ 模 $m$ 的阶。显然 $a$ 的幂次是以 $\delta_m(a)$ 为循环节的。可以把 $x\to ax\mod m$ 连上边，则 $a$ 连着跳 $\delta_m(a)$ 步之后，第一次回到 $a$。据此可以推出一些性质，诸如 $\delta(a)$ 是积性函数，且 $\delta(a^k)=\mathrm{lcm}(\delta(a),k)/k$。注意 $\delta_m(a)$ 存在显然代表着 $a,m$ 互质。计算阶，可以使用 BSGS，也可注意到欧拉定理，$\delta_m(a)|\varphi(m)$，故令 $x$ 初值为 $\varphi(m)$，从小到大找出 $\varphi(m)$ 的所有质因数，每次不断让 $x$ 试除当前质因数，若 $x$ 不再是其倍数，就看下一个质因数；否则得 $x'$，问还是否满足 $a^{x'}\equiv 1$。若发现仍旧满足，则 $x\gets x'$，否则看下一个。

若 $\delta_m(a)=\varphi(m)$，则 $a$ 是 $m$ 的原根。原根的若干次幂在模意义下取遍了所有与 $m$ 互质的数。判定 $a$ 是不是原根的一般方法是直接计算阶。显然只有很少的若干数 $m$ 有原根，$m$ 有原根当且仅当 $m=2,4,p^k,2p^k$，$p$ 是奇素数。若有原根，那么其缩系（只和 $m$ 互质的数构成的剩余系）上任意两个数的乘法，等价于对应指数模 $\phi(m)$ 下的加法，因为可以将每个数转化成 $a^t$ 的形式。计算原根，只需从小到大枚举原根并检测，因为一个数若有原根，则其最小正原根肯定非常非常小。显然一个数原根的个数是 $\varphi(\varphi(m))$。

单位根反演。
5.1 几乎只有 $[d|x]=\frac{1}{d}\sum_i\omega_d^{ix}$ 是重要公式。
证明：若 $d|x$ 则 $\omega_d^{ix}=1$，加一起再除以 $n$ 就是一；反之，是在环上跳，跳了 $n$ 步很均匀，把这些复数加一起结果一定是零。
5.2 如果要问 $[x\equiv y\mod m]$ 的形式，这就是 $[m|(x-y)]$，故也可以如上处理。例如 $\sum f(i)a_{i\mod 4}=\sum f(i)\sum_{j=0}^3a_j[i\equiv j\mod 4]$，然后上单位根反演。
5.3 单位根反演常运用二项式定理化式子。
5.4 单位根反演的最后一步，一般是利用同构把单位根转化成原根。对于常见模数 $p=998244353$，显然其最小原根 $g$ 满足 $g^{\varphi(p)}=1$，故这个 $g$ 就是 $\omega_p$ 对 $p$ 取模的结果。然而我们可能不是要 $\omega_p$ 而是想要 $\omega_x$，只需根据分圆的性质，你想要的是 $\omega_p^{\frac{p-1}{x}}=g^{\frac{p-1}{x}}$，一般 $x$ 就是 $p-1$ 的因数之一，快速幂即可。
分解质因数。
6.1 可依每个数不同质因子的幂次写出限制。
6.2 按质因子大小分治，例如把“最大质因子大于 $\sqrt V$ 的归为一类数字”等。如果值域太大无法分解，就只能使用 $\gcd$ 去处理（写出限制/求答案等）了。
6.3 数的因数个数其实非常少，因此 $O(\sum d_i),O(\sum d^2_i)$ 等复杂度常常可以接受（$d_i$ 代表 $i$ 的因数个数）见下图。

6.4 值域特别大，但是希望质因数分解。此时只能进行 $\gcd$ 运算。可以求“相对质因数”，也就是在本组数据中，作为单位元出现的数字。每次插入一个新数字，把它和所有已有单位元求 $\gcd$，如果有 $\gcd$ 不为一的，就删除对应单位元，并改成插入这个 $\gcd$，递归处理。最终得到的若干个单位元可以在本组数据中当作质数使用，把每个数分解后，可以方便地处理子集 $\lcm$ 等。
其他。
7.1 裴蜀定理。$ax\equiv b\ \mathrm{mod}\ p \to ax+py=b$ 有解的充要条件是 $\gcd(a,p)|b$。这是由 $ax+by=c$ 的有解条件 $\gcd(a,b)|c$ 推出的。
类似完全背包的问题，也可以从裴蜀定理，或同余方程的角度去思考。
7.2 预处理光速幂。根号分治。当底数为定值 $x$ 时，可预处理 $x^1,x^2,...,x^{\sqrt{y}-1}$ 和 $x^{\sqrt y},x^{2\sqrt y},...$。
7.3 除法取整。
7.3.1 形如 $\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$。不妨将分子拆成 $a=qb+r$，答案即为 $q$。对 $a$ 操作时，关键可能在于维护 $r$。形如 $\lfloor \frac{a-c}{b} \rfloor$，令 $a=qb+r,c=q'b+r'$，则只需会比较 $r,r'$ 关系即可。
7.3.2 取模和除法取整有关。
取整变取模是熟识的 $\lfloor\frac{a}{m}\rfloor=\frac{a-(a\mod m)}{m}$。
也可逆用，定义 $g(a)=\lfloor\frac{a}{m}\rfloor$，则 $a\mod m=a-mg(a)$，从而 $(a\mod m)<(b\mod m)$ 就是 $a-mg(a)<b-mg(b)$，也即 $\frac{a-b}{m}<g(a)-g(b)$。得到 $[(a\mod m)<(b\mod m)]=g(a)-g(b)-g(a-b)$。
7.4 整除分块。

§5.4 其他

卡特兰数。
1.1 $H_n=\frac{4n-2}{n+1}H_{n-1}$。
1.2 $H_{n,m}=\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{n-1}$。
1.3 $H_n=\sum H_iH_{n-i+1}$。
卢卡斯定理。
2.1 $\binom{i}{j}\mod 2=1$ 当且仅当 $j$ 为 $i$ 的二进制子集。
不过得找个递推方法使得 $i=x+y,w=z+x$ 的变化量不多。这相当于是把 $x,y,z$ 互相独立地拆开，要求它们三个的变化量均不多。
零点存在定理。一个序列，最大值大于 $0$，最小值小于它，则必存在一个点和它相邻的点正负号相反。
尤其是序列元素连续变化时，若最大值大于等于零、最小值小于等于零，则二者之间必然有一个位置为零，所以这种情况下可以线段树二分找出零点。
切比雪夫和曼哈顿的互转。
4.1 切转曼，是为了把两维分开做和，来规避 max 这种跟两维都有关的运算。
4.2 曼转切，是为了把和转成 max，方便做二分之类的。
4.3 另外补充，二维平面上的随机游走可以看作 $x,y$ 分别等概率地 $+1$ 或 $-1$（共四种可能）。
prufer 序列。
5.1 扩展 Cayley 公式。将大小序列为 $a_i$ 的若干有标号连通块连成树的方案数为 $n^{k-2}\prod a_i$。
5.2 限制带在度数上的树计数问题。尝试和 prufer 序列联系起来，因为我们知道 prufer 序列中度数为 $i$ 的节点恰好出现 $i-1$ 次。
线性基。
6.1 线性基按位贪心求异或 max，也可求异或第 $k$ 小。
6.2 线性基可以 $O(\log^2 V)$ 合并。因此可以视作代数结构。
6.3 区间修改查询。令 $b_i=a_i\oplus a_{i+1}$，类似差分。询问 $a_l,...,a_r$ 相当于问 $a_l,b_l,...,b_{r-1}$ 的，线段树查询后，将 $a_l$ 插入即可。
6.4 钦定选择奇数/偶数个，求异或成 $a$，异或 max，异或第 $k$ 小等。给每个数字扩展一个二进制“奇偶指示位”放在最高/最低位，就可以了。
方差。
方差就是 $\frac{1}{n}\min_x (a_i-x)^2$。因此与方差有关的最值问题，常常改为以 $x$ 为主体（首先枚举 $x$）来考虑方差，$x$ 不一定是所枚举集合的均值，这类似于错解不优。特别地，处理最大值时，则必须钦定 $x$ 就是均值。
绝对众数。
8.1 摩尔投票法，最后剩下的就是绝对众数。
8.2 若一定有绝对众数，则将所有数排序后，中位数就是绝对众数。
8.2.1 补充：如果要选择一个区间，使得区间和大于二分之序列总和。找原序列中和大于二分之总序列和的第一个前缀，则区间必然跨过该前缀的末端。
8.3 若有绝对众数，随机一个序列中的位置，则有二分之一概率它就是绝对众数。
对数。取对数，乘变加。
例如若干 $x_{a_i} \ge k_ix_{b_i}$ 条件均需满足，取对数使用差分约束，$\log{x_{a_i}} \ge \log{k_i}+\log{x_{b_i}}$。
9.1 可用于大数比大小。
求前 $k$ 大方案和。
法一，直接 dp。
法二，调整法和堆。把最优解放入堆中。共进行 $k$ 次，每次弹掉当前最优解，对当前最优解进行一点调整得到次优解，后放入堆中。
法三，二分。记录 $c(m)$ 表示价值大于等于 $m$ 的方案数，而 $s(m)$ 为这些方案的价值之和。得到最终 $m$ 之后，显然答案就是 $s(m)-(c(m)-k)m$。
$a+b\le m$ 的问题。
11.1 就是将所有元素分为 $\le \frac{m}{2}$ 和 $>\frac{m}{2}$ 两个组别。
11.2 正序扫描值域轴到 $i$ 的同时，倒序扫描值域轴到 $V-i$。
前缀操作结果。也就是 $s_i=\mathrm{op}_{j=1}^i\ a_i$。它很可能总计 $\log V$ 种不同的值，且值相同的是连续段。另外补充的例子，是单目运算，一个数至多取 $O(\log)$ 次欧拉函数会变为一。
依次加入元素，发现计数器越过 $a$ 时立刻终止。
从一点引射线，与多边形的边相交奇数次，则点在多边形内。
01 序列。关注它的差分、前缀和是很常见的，有时还翻转偶数位。

第六章交互与构造

§6.1 一般方法

广义上的构造是，可以输出操作序列或元素方案的一切“存在性”问题。对结构大小 $x$，或结构某方面的性质一般有要求。常见办法有：

数量关系，或势能法。
已知变现。已能解决的情况，从待考虑序列中剔除，就只剩下具备一定性质的问题。
2.1 构造的第一步是判断无解性。可视为一种变现手段。无解性一般和某个数量有关，比如“某个数量的奇偶性合适”或者“某个数量处于一个上下界范围内”则问题有解，注意所述的条件可能并非必要。例如，若 $n>5$ 则问题有解，不代表 $n\le 5$ 问题一定无解，可以小数据暴搜一下。
归纳构造。
3.1 每次删除（或确定结构中的）一个元素。删叶子（或扩展版广义串并联图方法），删极值，按某个轴依次在原有解基础上添点。
3.2 每次加入一个元素，并维护当前的结构。
dp 构造。
二级结构。
5.1 二级结构涉及询问之间关系匪浅，询问的参数差别一般很小，例如对定值 $i,j$ 和所有 $k$ 做询问 $(i,j,k)$。
5.2 手动爆搜“解”是什么，也就是先枚举“解”的第一步操作，然后找出第二步操作等等。
分组构造。对结构大小 $x$ 的要求是某个变量乘以分数，暗示分组构造，或多种做法拼接平衡。分组方法一般是编号剩余系。
6.1 将所有元素分为 $k$ 组，保证至少有一组元素全选，或称成功（全部贡献给结构大小），如 T-135。
6.2 将所有元素分成 $k$ 组，每组至少让结构大小增加一，如 T-125-2（这种常常和归纳构造结合）。
能操作就操作。
限制的分步检测。
8.1 先令解满足限制一，再调整使之满足限制二。
8.2 只考虑在题面中确定的元素（题目信息）涉及到的限制，先不考虑只涉及“自定义元素”的。
建立交互决策树。
暴力搜索建树。假设可能性集合为 $S$，对应步数下界 $f(S)$，枚举第一步的所有可能方式，根据第一步的结果将集合分为 $P_1,P_2,...$。如果 $\max f(P_i)>f(S)-1$ 则这一步就不行。反之就分下去然后继续搜索。
9.1 信息论视角。需要找出隐藏信息的交互问题中，若信息的初始范围，或称可能性种数是 $V$，则至少要 $O(\log V)$ bit 才能把实际的隐藏信息与其他信息区分开，这就是一个下界。

§6.2 具体方法

交互的“初始资本”。假设用已知信息作为参数描述子问题，不仅有子问题（可能性）大小，还有“初始资本”，就是一切已知辅助信息的统称。有一种情况好，有一种情况坏。好情况比平均步数要求要好，碰到了就直接过。坏情况我们不希望碰到，如果一直碰到就不能接受。交互过程中，不断发现辅助信息，应该利用辅助信息不断贪心选择，继续碰到“好情况”概率更大的“初始资本”。升级原有“初始资本”，不做白不做。
1.1 用随机化方法找出交互的初始状态。
进制构造。
2.1 二进制构造。
2.1.1 逐位确定。常常是用若干次询问确定全体元素某一位的值。
2.1.2 分治确定。
2.2 进制混合。对数构造换底，有时更佳。
2.2.1 将 64 位分组，每次将当前的 unsigned long long 数字对三，或对二取模的结果输出即可，并令它除以三或二，规避了高精度除法。
2.2.2 通信题中。将全部信息视作 01 串从而转化为 $[0,1)$ 内的二进制小数 $\sum 2^{-i}a_i$。每个进制位传递的信息，相当于“该小数处于当前区间的前三分之一，或前一半”之类的。发送者与接收者可以约定，未必每次都要平均地划分区间。
树上构造。
3.1 删叶子归纳，如 T-134,T-175。关键在于三部分（这个过程也适用于一切扩展版广义串并联图方法）：
第一，快速找出一个叶子。
第二，找出这个叶子的父亲（或者说，对于这个叶子，我们好奇的信息）。
第三，删除一个叶子后，出现新的“叶子”，加入待考虑栈中。
3.1.1 有时把某个 $p_i$ 求出后，就把 $i,p_i$ 合并起来，这就减小了规模。
3.2 从上向下的构造。每次找出“没有父亲是关键点”的关键点并解决它的问题（考虑如下对称，剥叶子相当于找出“没有儿子是关键点”的关键点并解决）。
撒谎的交互库。若询问集合 $S$ 且回答“是”，就让 $U-S$ 的元素的计数器都 push_back 一；反之令 $S$ 内的 push_back。如果某个元素计数器如何如何，那它一定不是答案，因为交互库不能连着撒两次谎之类的。实时维护所有 $n$ 个计数器的情况。
随机化。
5.1 未保证随机的数据，可以自行随机打乱，减少极端数据影响。例如交互题中，自行加上随机基底排列 $s$，逐步求出 $p'$，交互时调用 $p=s_{p'}$。第二个例子是有一些 0,1，每个都有权值，选一个子集使得 $01$ 数量相同，最大化权值和。把元素随机打乱再 dp，记录当前 0 比 1 多几个，这一维可以只开到 $O(\sqrt n)$。

结语

就像野外徒步，它无法告诉你，翻过眼前这座山唯一的正确路线。
它只能说，沿着山脊，不容易遭遇洪水。
荒野里走着的人，只得紧握双手；
堪比原始哲学，它如同石矛简陋。
我愿以哲学的角度，给简陋工具几个命名。

我们如何切割世界？元素就是对象。
我们如何理解事物间的联系？限制就是关系。
我们如何安排观察的节奏？轴就是顺序。
我们如何表征我们找到的答案？描述法就是语言。

正如组诗《太阳的姓》试图指出的那样，

凡人触碰太阳的姓
我们从未松开
长着名字的石矛
一代一代传

我们就像小孩子
刚睁开湿润的眼
大声念出
它的名字——
然后你看见一潮一汐的波澜

posted @ 2026-06-17 20:49 timefinder 阅读(12) 评论(0) 收藏举报

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