补题：2021牛客暑期多校训练营1 H Hash Function

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11166/H

题目大意：对于给定的自然数集合S，寻找一个最小的正整数seed，要求S中的自然数对seed取模后没有重复

思路：

（1）对于任意两个不同的自然数x、y，当且仅当|x-y|%seed=0时x%seed=y%seed，因此，我们要寻找的seed不能是S中任意两个数的差的因子

（2）设多项式A(x)=a₀x⁰+a₁x¹+a₂x²+a₃x³+……和B(x)=b₀x⁰+b_-1x^-1+b_-2x^-2+b_-3x^-3+……，每一项的系数都为0或1，表示这一项是否存在（a表示作为被减数，b表示作为减数），那么显然A(x)*B(x)的各项系数就可以表示出所有的差

（3）数据量较大，使用FFT处理多项式乘法

（4）如果出现精度问题，换个板子或者换NTT

（5）最后一组样例的结果是500001，注意别被卡在这里

#define _USE_MATH_DEFINES
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <vector>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <limits.h>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <functional>
#include<utility>
#include<complex>
#define el '\n'
#define M 1000005
const long double C = 0.57721566490153286060651209;
const long long N = 1e9+7;
#define ll long long
#define ull unsigned long long 
using namespace std;
typedef complex<double> cp;
const double pi=acos(-1.0);

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(!b)return a;
    else
        return gcd(b,a%b);
}

ll qsm(ll a,ll b)
{
    long long res=1;
    long long x=a%N;
    while(b)
    {
        if(b&1)res=res%N*x%N;
        x=x*x%N;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int rev[(1<<21)+5];
void fft(cp *a,int n,int inv)
{
    int bit=0;
    while((1<<bit)<n)bit++;
    for(int i=0;i<=n-1;i++)
    {
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
        if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    }
    for(int mid=1;mid<n;mid*=2)
    {
        cp temp(cos(pi/mid),inv*sin(pi/mid));
        for (int i=0;i<n;i+=mid*2)
        {
            cp omega(1,0);
            for (int j=0;j<mid;j++,omega*=temp)
            {
                cp x=a[i+j],y=omega*a[i+j+mid];
                a[i+j]=x+y,a[i+j+mid]=x-y;
            }
        }
    }
}

const int MX=500000;
const int SZ=1<<21;
cp a[SZ+5];
cp b[SZ+5];
int c[SZ+5];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x;
        cin>>x;
        a[x]=cp(1,0);
        b[MX-x]=cp(1,0);
    }
    fft(a,SZ>>1,1);
    fft(b,SZ>>1,1);
    for(int i=0;i<(SZ>>1);i++)a[i]*=b[i];
    fft(a,SZ>>1,-1);
    for(int i=0;i<(SZ>>1);i++){
        int j=a[i].real()/(SZ>>1)+0.5;
        if(j)c[abs(MX-i)]=1;
    }
    for(int i=n;i<=MX;i++){
        int flag=true;
        for(int j=1;j*i<=MX;j++){
            if(c[j*i]){flag=false;break;}
        }
        if(flag){
            cout<<i<<el;
            break;
        }
    }
    return 0;
}