狄利克雷卷积

数论 狄利克雷卷积

1.1 前置知识：积性函数

数论函数： 定义域为正整数，陪域为复数的函数

积性函数： \(\forall a,b (gcd(a,b)=1)\quad f(a\times b)=f(a)\times a(b)\)

完全积性函数： \(\forall a,b \quad f(a\times b) = f(a)\times f(b)\)

1.2 常见的积性函数

\(\mu(x)\)： 莫比乌斯函数

\(\phi(x)\)： 欧拉函数

\[\phi(x)=\sum_{i=1}^x [gcd(i,x)=1] \]

\(d(x)\): 约数个数

\[d(x)=\sum_{d|m} 1 \]

\(\rho(x)\): 约数和

\[\rho(x)=\sum_{d|m} d \]

1.3 常见的完全积性函数

\(\epsilon(x)\)： 元函数

元函数在狄利克雷卷积中还有以下性质：

\[f*\epsilon = f \]

\(I(x)\)： 恒等函数

\[I(x)=1 \]

\(N(x)\)： 单位函数

\[N(x)=x \]

2.1 狄利克雷卷积

狄利克雷卷积是作用于数论函数的运算。对于函数\(f\)和\(g\)，狄利克雷卷积的运算过程

\[(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]

2.2 狄利克雷卷积的运算律

交换律：

\[f*g=g*f \]

结合律：

\[(f*g)*h=f*(g*h) \]

分配律：

\[（f+g)*h=f*h+g*h \]

交换律和结合律的证明相对容易，这里着重证明一下分配律

2.3 两个积性函数卷积的积性

结论：若两个函数是积性函数，则这两个函数的卷积也是积性的。

证明如下：

若 f , g 是积性函数， n 与 m 互质

则待证明的式子如下：\((f * g)(n) \times (f * g)(m)=(f * g)(n\times m)\)