贝尔数

贝尔数

贝尔数\(B_n\)是基数（元素个数）为\(n\)的集合的划分方法的数目。集合\(S\)的一个划分是定义为\(S\)的两两不相交的非空子集的族，它们的并是\(S\)。

贝尔数的前几项是\(B_0=1,\quad B_1=1,\quad B_2=2,\quad B_3=5,\quad B_4=15,\quad B_5=52,\quad B_6=203,\quad\dots\)

递推

\(B_0=1\)是因为空集内没有元素，只有本身这一种划分方式。

\[B_{n+1} = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} B_i \]

维基百科给出的证明是利用最后一个数的从属情况。

可以这样来想，\(B_{n+1}\)是含有\(n+1\)个元素集合的划分的个数，考虑元素\(b_{n+1}\)，

假设他被单独划分到一类，那么还剩下\(n\)个元素，这种情况下划分个数为\({n \choose n}B_{n}\)；

假设他和某一个元素被划分为一类，那么还剩下\(n-1\)个元素，这种情况下划分个数为\({n \choose n-1}B_{n-1}\)；

假设他和某两个元素被划分为一类，那么还剩下\(n-2\)个元素，这种情况下划分个数为\({n \choose n-2}B_{n-2}\)；

以此类推得到了递推式。

性质

\(Dobinski\)公式

\[B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!} \]

期望值为\(1\)的泊松分数的\(n\)次矩。

\(Touchard\)同余

若\(p\)是任意质数，那么

\(B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p)\)

https://www.zhihu.com/question/378119359

每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和

\[B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k) \]

贝尔数的生成函数

考虑另一组合意义，相当于把\(n\)个有区别的小球放到任意多无区别的盒子里的方案数。

集合内的元素（小球）互相区别，考虑序列\(< 0, 1, 1, · · · >\)描述了非空子集，由于运算过程中组合类的合并等价于二项卷积，所以考虑该序列的 EGF为\(e^z − 1\)。那么贝尔数的生成函数满足：

\[B(z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(e^z-1)^k}{k!} \]

相当于枚举非空子集的个数，由于每种方案在$ (e^z − 1)^k \(有\)k!\(次重复，所以除去\)k!$。

所以有贝尔数的指数生成函数是

\[B(z) = \sum_{k \geq 0} \frac{(e^z-1)^k}{k!} = e^{e^z-1} \]

贝尔三角形

用以下方法建构一个三角矩阵（形式类似杨辉三角形）：

• 第一行第一项是1。（\(a_{1,1}=1\)）
• 对于\(n>1\)，第\(n\)行第一项等同第\(n-1\)行最后一项。（\(a_{n,1}=a_{n-1,n-1}\)}）
• 对于\(m,n>1\)，第\(n\)行第\(m\)项等于它左边和左上方的两个数之和。（\(a_{n,m}=a_{n,m-1}+a_{n-1,m-1}\))

\[\begin{array} {cccccccccccccccccc} 1\\ 1&&&&2&&&&\\ 2&&&&3&&&&5&&&&\\ 5&&&&7&&&&10&&&&15&&&&\\ 15&&&&20&&&&27&&&&37&&&&52&&&&\\ 52&&&&67&&&&87&&&&114&&&&151&&&&203&&&&\\ 203&&&&255&&&&322&&&&409&&&&523&&&&674&&&&877&&&&\\ 877&&&&1080&&&&1335&&&&1657&&&&2066&&&&2589&&&&3263&&&&4140&&&&\\ \end{array} \]

每行首项是贝尔数。

例：沈阳2019网络赛 E. Gugugu’s upgrade schemes

【题目大意】
有\(n\)种物品，每两件不同的物品可以合成一件新的物品，问有多少种合成方法（也可以不合成），答案对p取模，p保证是质数\((n\leq 10^6,p \leq 10^3)\)
很容易想到这是一个集合的划分种数问题，即贝尔数\(B_n(\operatorname{mod} p)\)。由于\(p\)很小，可以记忆化搜索。

\[B_{n+p} \equiv B_n + B_{n+1} \mod p \\ B_{n} \equiv B_{n-p} + B_{n-p+1} \mod p \]

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define lc nd<<1
#define rc nd<<1|1
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define pLL pair<LL,LL>

using namespace std;

const int mod=998244353;
template<typename T>
T qpow(T a,T b) {T ans=1;while(b) {if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;}


const int mn=1e3+6;
map<int,int> vis,b;
int a[mn][mn],n,p;

void init()
{
    vis.clear();
    b.clear();
    a[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=p;++i) for(int j=1;j<=i;++j) {
        if(j==1) a[i][j]=a[i-1][i-1];
        else {
            a[i][j]=(a[i][j-1]+a[i-1][j-1])%p;
        }
    }
}

int get_ans(int x)
{
    if(x<=p) {
        return a[x][0];
    }
    if(vis[x]) return b[x];
    vis[x]=1;
    return b[x]=(get_ans(x-p)+get_ans(x-p+1))%p;
}

int main()
{
    int tests=1;scanf("%d",&tests);
    while(tests--) {
        scanf("%d%d",&n,&p);
        init();
        printf("%d\n",get_ans(n));
    }
    return 0;
}