快速幂总结

快速幂问题

即求：\(a^b \mod c\)

暴力

直接暴力

时间复杂度：\(O(b)\)

int ans = 1,i;
for(i=0;i<b;i++)
    ans *= a;
ans %= c;

问题在于当a，b过大时，容易溢出。

优化溢出

时间复杂度：\(O(b)\)

首先明确2个公式：

1. \(a^b \mod c = [(a \mod c)^b] \mod c\)
2. \((a*b) \mod c = [(a \mod c)*(b \mod c)] \mod c\)

即：积的取余等于取余的积的取余！

证明：
设：\(d = a \mod c, e = b \mod c\)
则：\(a = t*c+d, b = k*c+e\)
可以推出：

\[a*b \equiv x*c+d*e \equiv d*e \pmod c \]

公式1可由公式2推得。

int ans = 1,i;
a %= c;
for(i=0;i<b;i++)
    ans *= a;
ans %= c;

这个改进不大，只是减小了数据溢出的可能。

快速幂

时间复杂度：\(O(\log_2{b})\)

公式：

\[a^b \mod c = (a^2)^ \left( b/2 \right) \mod c, 当b为偶 \]

\[a^b \mod c = ((a^2)^ \left( b/2 \right) * a) \mod c, 当b为奇 \]

依据上述两个公式，令\(k = a^2 \mod c\)，我们可以得出如下结论：

1. 当b是偶数，即求\(k^{b/2} \mod c\)
2. 当b是奇数，即求\(((k^{b/2} \mod c) * a) \mod c\)

每次用此公式迭代即为快速幂取余算法！

int ans = 1;
a %= c;
while(b>0)
{
    if(b%2==1)  ans = (ans *a)%c;
    b /= 2;
    a = (a*a)%c;
}

看了算法竞赛（刘汝佳）之后发现还有一种写法，思想相同，用递归实现，代码：

int pow_mod(int a,int b,int c)
{
    if(b==0) return 1;
    int x = pow_mod(a,b/2,c);
    long long ans = (long long)x * x % c;
    if(b%2==1) ans = ans * a % c;
    return (int)ans;
}