差分约束

差分约束

如果有这样的条件

​ x1-x2<=k1

​ x1-x3<=k2

​ x2-x3<=k3

转换过来就是 点1到点3最远为k1 其他点同理 那么要求点1到点n的距离 实际就是dis【n]=min(k2,k1+k3)

如果我们把式子1和式子3相加 就能得到x1-x3=k1+k3

那么这个问题就可以转换为最短路的问题：

​ 可以建立一个从点1到点2，点1到点3，点2到点3的一个又向图，然后我们再求其最大或最小距离。

现在看看例题 poj3169

题目大意： 有n个点 其中x条边为点a到点b的距离必选不大于c ， 剩下的y条边点a到点b的距离必须不小c,求点1到点n的距离。

思路：

​ 在前x条边中，我们可以等到不等式 xa-xb<=c;

​ 在y条边中，我们得到不等式xa-xb>=c，我们对不等式两边同时乘以-1， 得到xb-xa<=-c，这样保证的了他们的不等于符号方向相同 然后就可应进行最短路的操作了。

代码：

#include<string.h>
#include<queue>
using namespace std;

const int maxn=1e4+4; 

struct node{
	int from,to,w,next;
}e[200000];
int head[maxn];
int vis[maxn];
int dis[maxn];
int cntt[maxn];
int cnt,n,x,y,a,b,c;
void add(int from,int to,int w)
{
	e[cnt].to=to;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].next=head[from];
	head[from]=cnt++;
}

void spfa()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dis[i]=0x3f3f3f3f;
	}
	dis[1]=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(cntt,0,sizeof(cntt));
	queue<int> q;
	q.push(1);
	int flag=0;
	while(!q.empty())	
	{
		int s=q.front();
		q.pop();
		vis[s]=0;
		for(int i=head[s];i!=-1;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].to;
			int w=e[i].w;
			if(dis[v]>dis[s]+w)
			{
				dis[v]=dis[s]+w;
				cntt[v]=cntt[s]+1;
				if(cntt[v]>=n)
				{
					flag=1;
					break;
				}
				if(!vis[v])
				{
					vis[v]=1;
					q.push(v);
				}
			}
		}
	}
	if(flag==1)
	{
		printf("-1\n");
	}
	else if(dis[n]>0x3f3f3f3f/2) printf("-2\n");
	else  printf("%d\n",dis[n]); 
}

int main()
{
	 while(~scanf("%d %d %d",&n,&x,&y))
	 {
		 cnt=0;
	     memset(head,-1,sizeof(head));
		 for(int i=0;i<x;i++)
		 {
		 	scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
		 	add(a,b,c);
		 }
		 for(int i=0;i<y;i++)
		 {
		 	scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
		 	add(b,a,-c);
		 }
		 spfa();
	 }
	 
	 return 0;
}

spfa进行判环： 我们只需要记录经过的边的条数，如果当一个点经过了n条边才到达这个点，那么从点1开始走的时候到达这个点一共就经过了n+1个点 然而我们一共只有n个点 所以说明一定经过了重复点。

spfa进行负边权判断：为什么没有直接让dis[n]==0x3f3f3f3f呢 因为可能存在（0x3f3f3f3f减去一个不大的数和0x3f3f3f3f进行比较的情况） 所以我们可以直接判断他是否大于0x3f3f3f3f/2即可。