线性代数_矩阵基础

1. 矩阵的意义与消元法

1.1 二维矩阵 ： 直线相交解的表示方法

求两个直线相交的点

2x -  y = 0

-x +2y = 3

等同

2 -1    x      0

-1 2    y  =  3          A      X =  b

转换为向量的思考方式, x是向量2 -1的参数  y是向量 -1 2的参数, 两个向量的和是向量 0 3

直线交点->向量和

x  2　　y  -1 =  0

   -1　　    2      3

1.2 三维矩阵 ： 面相交的解释方法 消元法

x+2y+1y=10

3x+8y+z=2

     4y+z=6

一个三元方程的解是一个平面, 所以三个三元方程的解就是三个面相交的点

1  2  1    x   =     1

3  8  1    y          2

0  4  1    z          6

矩阵表示为向量用的是列解释

消元法

简化方程   因为要同时满足各个方程 所以用一个方程简化另一个方程

用第一行消除二三行 用二行消除第三行 然后导入b得出最终解

1  2  1    x   =    x  1   +    y  2   +   z   1     =  x+2y+z1  = 1　　

0  2  -2   y             0             2            -2            2y-2z      2

0  0  5    z             0             0             5                  5z      2

矩阵三行的比例变化

a b c　　1  2  1   =   a(1 2 1)  +b(3 8 1)  +c(0 4 1)=  a+3b   2a+8b+4c   a+b+c 

               3  8  1

               0  4  1

矩阵乘以列得出列   行乘以矩阵等于行

矩阵的消元简化变化矩阵

 1 0 0    1 2 1    =    1 2 1

-3 1 0    3 8 1          0 2 -2

 0 0 1    0 4 1          0 4 1

E21 用第一行简化第二行

               1              .  .  .

-3 1 0      1       =    .  .  -2  （-3x1+1x1+0x1）

               1              .  .  .

-2：行和列相交的位置

E32 用第二行简化第三行

E32（E21 A）=U

A经过两次简化 变成U矩阵

 

矩阵的结合律：

E32（E21 A）= （E32  E21） A

 

置换矩阵

0 1     a b   =   c d

1 0     c d        a b