布朗运动的轨道 Holder 连续性

设 \(X\) 是指标集为 \([0,1]\) 的随机过程，满足 \(E|X_s-X_t|^\beta\le K|t-s|^{1+\alpha}\) 且 \(\gamma<\alpha/\beta\)，则 a.s. 存在常数 \(C\) 使得 \(|X_q-X_r|\le C|q-r|^{\gamma},\forall q,r\in [0,1]\cap Q_2\)，其中 \(Q_2=\{2^{-m}n|n,m \in Z\}\)。

设 \(G_n\) 表示事件：\(|X_{i/2^n}-X_{(i-1)/2^n}|\le 2^{-\gamma n},\forall 1\le i\le 2^n\)，令 \(\lambda=\alpha-\beta\gamma>0\)，则

\[P(\neg G_n)\le 2^n\cdot 2^{n\beta\gamma}\cdot K2^{-n-n\alpha}=K2^{-n\lambda} \]

假设 \(G_n\ (n\ge N)\) 都发生（记为 \(H_N\)），则对于差 \(\le 2^{-N}\) 的 \(q,r\in [0,1]\cap Q_2\)，\(|X_q-X_r|\) 可以像线段树一样拆成若干个长度 \(\le 2^{-N}\) 的区间，差的和不超过 \(2\sum_{i\ge N}2^{-i\gamma}=\frac{2^{-\gamma N}}{1-2^{-\gamma}}\)。而且这个 \(N\) 可以收紧，使得 \(2^{-N}/|q-r|\in [1/2,2]\)。也即，此时对于差足够小的 \(q,r\) 结论已经满足了。

由于 \(H_N^c\) 的概率不超过 \(G_n\) 后缀和，是 \(c^{-N}\) 级别的，故 \(\sum_N P(H_N^c)<+\infty\)，故 a.s. 确实有一个 \(H_N\) 发生。对于区间长度 \(>2{-N}\) 的情况，将常数乘 \(2^N\) 即可。证毕。

对于一维标准布朗运动，由于 \(E|B_t-B_s|^{2m}=C_m|t-s|^m\)，因此 \(\alpha/\beta=(m-1)/2m\)。令 \(m\to \infty\)，再结合布朗运动连续性可得

对于 \(\forall \gamma<1/2\)，布朗运动的轨道是 \(\gamma\)-Holder 连续的。

其实 \(\forall \gamma>1/2\)，布朗运动的轨道任意位置都不是 \(\gamma\)-Holder 连续的；对于 \(\gamma=1/2\) 情况就比较抽象了。