数分二 期末复习

泰勒公式

• 积分余项
  \[f(x)=f(x_0)+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac 1{n!}\int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n\mathrm dt \]

函数项级数

• 一致收敛判别法

  柯西准则

  最值判别法

  M 判别法：若 \(M_n\) 是 \(u_n(x)\) 的界，\(\sum M_n\) 收敛，则 \(\sum u_n\) 一致收敛

  狄利克雷：\(u_n\) 部分和一致有界，\(v_n\) 关于 \(n\) 单调，趋于 0，则 \(\sum u_nv_n\) 一致收敛

  阿贝尔：\(u_n\) 一致收敛，\(v_n\) 关于 \(n\) 单调，一致有界，则 \(\sum u_nv_n\) 一致收敛

  Dini 定理：连续 \(f_n\) 关于 \(n\) 单调，点点收敛，则一致收敛等价于 \(f\) 连续

• 逐项求导

  \(f_n\) 可导，导数一致收敛到 \(g\)，\(f_n\) 至少在一个点收敛，则 \(f_n\) 一致收敛到 \(f\)，\(f'=g\)

• 逐项积分

  一致收敛即可交换

Fourier 级数

• 核函数的定义

  D 核：\(D_n(t)=\frac{\sin (n+1/2)t}{2\pi \sin(t/2)}\)。\(D_n\) 在 \([0,\pi]\) 积分为 1/2，在 \([-\pi,\pi]\) 积分为 1

  \(S_n(x)=\int_0^{\pi} D_n(t)[f(x+t)+f(x-t)]\mathrm dt\)

  \[\lim_{n\to \infty}\int_0^\pi\frac{\sin (n+1/2)x}{x}\mathrm dx=\lim_{n\to \infty}\int_0^\pi\frac{\sin (n+1/2)x}{2\sin x/2}\mathrm dx=\pi/2\\\to \int_0^\infty \sin x/x\mathrm dx=\pi/2 \]

  F 核：\(\Phi_n(t)=\frac{\sin^2 (n/2+1/2)t}{2(n+1)\sin^2 t/2}\)。\(\Phi_n\) 在 \([-\pi,\pi]\) 积分为 \(\pi\)

  \(\tilde S_n(x)=\frac 1\pi \int_{-\pi}^\pi f(x+t)\Phi_n(t)\mathrm dt\)

  \(\Phi_n(t)=\frac{\pi}{n+1}\sum_{0\le k\le n}D_k(t)\)

• 收敛条件

  CC（充要条件）：收敛到 \(\eta\) 等价于 \(\exists \delta\)，

  \[\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta \frac{\sin (n+1/2)t}{t}[f(x+t)+f(x-t)-2\eta]=0 \]

  有界变差

  分段可微

  局部 \(L,\alpha\)-Lipschitz 连续

  类比到 \(\tilde S_n\)：收敛到 \(\eta\) 等价于 \(\exists \delta\)，

  \[\lim_{n\to \infty}\int_0^\delta \Phi_n(t)[f(x+t)+f(x-t)-2\eta]=0 \]

  若 \(\eta\) 使得 \(\lim_{t\to 0+0}[f(x+t)+f(x-t)-2\eta]=A\ne 0\)，则一定不收敛到 \(\eta\)

  推论：若在第一类间断点或连续点收敛，一定收敛到 \(\frac 12(f(x-0)+f(x+0))\)

• 一致收敛条件

  记 \(\varphi(x,t)=f(x+t)+f(x-t)-2f(x)\)。

  Dini 判别法：若 \(\int_0^h |\varphi(x,t)|/t\mathrm dt\) 在某区间一致连续，则一致收敛

  连续+有界变差（推论：变上限积分一定一致收敛）

• 均方收敛

  若 \(f​\) 平方可积，\(T_n​\) 是 \(a_i',b_i'​\) 定义的 \(n​\) 次三角多项式，直接计算可得

  \[\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi (f(x)-T_n(x))^2\mathrm dx=\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\mathrm dx-\left(\frac{a_0^2}{2}+\sum_{1\le k\le n}(a_k^2+b_k^2)\right)\\ +\frac{(a_0-a'_0)^2}{2}+\sum_{1\le k\le n}(a_k-a'_k)^2+(b_k-b'_k)^2 \]

  推论：若 \(f\) 平方可积，则 \(S_n\) 是限定在 \(n\) 次三角多项式时的最佳逼近

  平方可积则均方收敛（逻辑：连续有逼近定理，可积函数均方意义下被连续逼近，平方可积只有有限个瑕点也可以）

• Parseval 等式：平方可积则

  \[\frac 1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\mathrm dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n\ge 1}(a_n^2+b_n^2) \]

• 逐项积分

  可积则无论积前如何，积后都点点收敛

  推论：若 \(f\) 可积，则 \(\sum b_n/n\) 收敛

• 逐项微分

  就是逐项积分的逆：若 \(f'\)（补足有限不存在点后）可积，则可逐项求导（但不保证收敛性）

  若 \(f,f'\) 连续+有界变差，则点点收敛