复合逆和反函数求导

设形式幂级数 \(F,G\) 互为复合逆，\(y=F(x),x=G(y)\)，则

\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=G'(y) \\ \to F'(x)=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac1{G'(y)} \]

若 \(F\) 满足方程 \(F'f(F,x)=1\)，则 \(F'=\frac{1}{f(F,x)}\)，也即

\[G'(y)=f(F,x)=f(y,G) \]

这是一个关于 \(y\) 的微分方程，其形式可能比原方程简单，由此可能可以解出 \(G\)。再根据拉格朗日反演即得 $ [x^n]F(x)$ 的表达式。

很多时候 \(F'f(F,x)=1\) 意味着半在线卷积（而且这个半在线卷积可能还很难写），但是如果能解出 \(G\)，求单项就可以单 log。

例：设 \(F(0)=0,F'(F\exp F+x+1)=1\)，\(O(n\log n)\) 求 \([x^n]F\)。

解：设 \(G(y)\) 为 \(F\) 复合逆，由先前推导得 \(G'=ye^y+G+1\)，解得 \(G=e^y-1+\frac{e^yy^2}{2}\)，故

\[[x^n]F=\frac 1n[x^{n-1}]\left(\frac{x}{e^x-1+\frac{e^xx^2}{2}}\right)^n \]

从上例可以发现，该方法使用时需要 \(f(F,x)\) 中与 \(x\) 有关的项较简单（否则就解不出来 \(G\) 了），与 \(F\) 有关的可以很复杂。