算法系列——N皇后问题
常规N皇后解决问题过程
一．问题描述
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：
（1）针对所给问题，定义问题的解空间；
（2）确定易于搜索的解空间结构；
（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
通过上述的基本思路，我们可以将问题描述为：X(j)表示一个解的空间，j表示行数，里面的值表示可以放置在的列数，抽象约束条件得到能放置一个皇后的约束条件(1)X(i)!=X(k);(2)abs(X(i)-X(k))!=abs(i-k)。应用回溯法，当可以放置皇后时就继续到下一行，不行的话就返回到第一行，重新检验要放的列数，如此反复，直到将所有解解出。
也就是对于N×N的棋盘，选择出N个符合i!=r∧j!=s∧|i-r|!=|j-s|∨(i+r)!=(j+s)的点的排列总数。
二．伪代码：
判断点是否符合要求：
place(k, X)
I=1
While i<k do
If x[i]==x[k] or abs(x[i]-x[k])==abs(i-k) then
Return false
I=i+1
Return true
求问题的所有解：
Nqueens(n, X)
Sum=0 , X[1]=0 , k=1
While k>0 do
X[k]=X[k]+1
While X[k]<=n and !(place(k,x))
X[k]=X[k]+1
If X[k]<=n then
Sum=Sum+1
Else
K=K+1 ,X[k]=0
Else
K=K-1
Print sum
三．代码实现
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 #include <math.h>
4
5 /*检查可不可以放置一个新的皇后*/
6 bool place(int k, int *X)
7 {
8
9 int i;
10 i=1;
11 while(i<k)
12 {
13 if((X[i]==X[k])||(abs(X[i]-X[k])==abs(i-k)))
14 return false;
15 i++;
16 }
17 return true;
18 }
19
20 /*求解问题的所有解的总数，X存放列数*/
21 void Nqueens(int n,int *X)
22 {
23 int k,sum=0;
24 X[1]=0;
25 k=1;
26 while(k>0)
27 {
28 X[k]=X[k]+1;
29
30 while((X[k]<=n)&&(!place(k, X)))
31 X[k]=X[k]+1;
32
33 if(X[k]<=n)
34 if(k==n)
35 {
36 for(int i=1;i<=n;i++)
37 cout<<X[i]<<" ";
38 cout<<endl;
39 sum++;
40 }
41 else
42 {
43 k=k+1;
44 X[k]=0;
45 }
46 else
47 k=k-1;
48 }
49 cout<<"解的总数为："<<sum<<endl;
50 }
51
52 int main()
53 {
54 int n;
55 int *X;
56 cout<<"请输入皇后的个数:";
57 cin>>n;
58 X=new int[n];
59 cout<<"问题的解如下:"<<endl;
60 Nqueens(n,X);
61 return 0;
62 }
四．实验结果
五．存在的问题
当皇后个数N大于等于16以上，程序对棋盘的扫描次数大到惊人：
从维基百科列出的结果不难看出，在25皇后时，符合条件的解集已经如此庞大了。而数组的存储及加法运算来求解已经不能适应当前的运算。
六．算法改进
程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的，而位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作，所以速度快，效率高。因此我们选择用位运算来改进运算速度。
算法思想用图列应该更好解释：
如上图所示，假设一个8*8的棋盘，那么第一次我们在棋盘第一个位置放置一个皇后，则此时，第二列最靠右可放棋子的位置是3。假设第二个放到第二列3的位置，则此时，第三列最靠右能放棋子的位置是5...我们用蓝色线代表向右边斜的线，用橙色代表向左边斜的线，用红色代表向下边的线，而同一行，我们不需判断，因为棋子不能放置同一行的位置。这样，我们画了上面的图，所有被红，橙，蓝穿过的格都不能放置皇后。那么从图上，我们很容易的推出第四行第几个位置能放皇后（从右往左算是2,7,8）。
我们用0代表没有被线穿过，用1代表被线穿过，用row代表竖方向，ld代表左斜线，rd代表右斜线。假设每次放皇后我们都先放最靠右边的。
则放第一个皇后时：
Row=0000 0001， Ld=0000 0001， Rd=0000 1001
放置第二个皇后时：
Row=0000 0101， Ld=0000 0110， Rd=0000 0100
放置第三个皇后时：
Row=0001 0101， Ld=0001 1100， Rd=0001 0010
…
按照图，我们可以标识出有没有被线穿过的格子，那么我们要在上面放皇后，当然要放置在没有被线穿过的位置：也就是说Row 或者 Ld 或者 Rd上有被线穿过的格子都是不符合要求的，用数学描述为：
（row|ld|rd），因为数学上经常以1为是，0为否，所以我们将式子改为：~（row|ld|rd）
而初始时，某一行还没有线的限制，所以都是可以放置皇后的，对于8皇后，初始时，我们可以定义upperlimit=1111 1111来表示。
则要判断当前行那些位置可以放置皇后，我们可以用：
Pos=upperlimit&~（row|ld|rd）
一直放置，直到无可放置的位置或者扫描完一次棋盘为止。
对于无可放置位置这种情况，我们则要回溯到上一步，然后再找上一行可放置皇后的另一个点，如果不存在该点，则再继续向上回溯…重复直到找出所有解。
而对于扫描完成，我们如何判断呢？从上图，我们很容易直到，每次放置一个皇后，row则会多一个1，所以，只要到row=upperlimit时，说明棋盘扫描结束，则我们找到符合结果的总数sum就要加一。
程序清单：
1 #include <iostream>
2 using namespace std;
3 #include <math.h>
4
5 int sum = 0;
6 int upperlimit = 1;
7 void compare(int row,int ld,int rd)
8 {
9 if(row!=upperlimit)
10 {
11 int pos = upperlimit&~(row|ld|rd);
12 while(pos!=0)
13 {
14 int p=pos&-pos;
15 pos-=p;
16 compare(row+p,(ld+p)<<1,(rd+p)>>1);
17 }
18 }
19 else{
20 sum++;
21 }
22 }
23
24 int main()
25 {
26 int n;
27 cout<<"请输入皇后的个数:";
28 cin>>n;
29
30 upperlimit = (upperlimit<<n)-1;
31 compare(0,0,0);
32 cout<<"问题的解如下:"<<sum<<endl;
33 return 0;
34 }
实验结果：
改进后算法的不足：虽然运算速度及效率提高了很多倍，但是由于上N大于等于20后，运算量太大，改进运算方式不能从本质上解决问题，所以我们继续跟进。
七．算法改进二
改进思路，对于不同的皇后问题，使用不同的方法计算，
如，对于除2、3、8、9、14、15、26、27、38、39之外的任意N值皇后，可以用分治法，如：
如图，我们可以用类比法来推算除去上述特殊值的N皇后问题，但是其推导公式过于复杂，分类运算考虑的情况及排列组合的公式还没完全推导出，所以这个算法还只是停留在我们的思路中。
多聚旅游 聚游宝 学友网
