Day5：网络流与分治 罗思远

直接全说网络流得了

上午：网络流与反悔贪心

网络流

基础

1. 选择按照到 \(𝑇\) 的最短距离分层更优。
2. 加上当前弧优化才能保证复杂度 \(𝑂(𝑛^2 𝑚)\)。
3. 由于需要多次遍历同一个点的出边，vector 存图（内存连续）会比链表存图快得多。

退流

PPT。

二分图匹配

\(Dinic\) 时间复杂度 \(𝑂(𝑚\sqrt{n})\)。

Primal Dual 算法

神秘东西，不如SPFA加优化。PPT。

最小割模型

最小割 = 最大流。

最小割本质上是一个 0-1 整数规划问题（或者说，有限制的布尔变量问题）。
假设 \(𝑥_𝑖\) 表示 𝑖 是不是和 \(𝑆\) 在一边，则目标就是最小化

\[\sum_{𝑖,𝑗}𝑐(𝑖→𝑗)×(𝑥_𝑖 𝑎𝑛𝑑 ¬𝑥_𝑗) \]

直白地说：如果 \(i\) 在 \(𝑆\)，\(𝑗\) 在 \(𝑇\)，就有 \(𝑐(𝑖→𝑗)\) 的代价，而且 \(𝑐\) 是正数。

把问题转为最小割问题，本质上就是把任何问题转化为符合上述形式的 0-1 整数规划问题！

方法：

1. 第一步：将问题目标与最小割 0-1 整数规划模型的目标进行比对，设出布尔变量。
2. 第二步：将问题的限制与 0-1 整数规划模型的限制\(（𝑥_𝑖 𝑎𝑛𝑑 ¬𝑥_𝑗）\)进行比对。

具体PPT。

二分图最大权独立集：求二分图最大权值和的独立集。

先设 \(𝑥_𝑖\) 表示 \(𝑖\) 选不选，然后把一边的变量取反（只有是二分图才可以）。

模拟费用流

全是题，自己看PPT。

下午：分治

全是题。

下周写题后再来吧