Day 4:数据结构 李羿辰

上午:根号分治与分块

归约

若有解决问题 \(𝐴\) 的代码，则可以在不理解这段代码的前提下用它解决问题 \(𝐵\)，那么 \(𝐴\) 就难于 \(𝐵\)。
因为这实际上是将解决 \(𝐵\) 问题转化成了解决 \(𝐴\) 问题，所以也叫将 \(𝐵\) 归约到 \(𝐴\)。

矩阵乘法

证明一些问题强于矩阵乘法，可以得到一些问题的复杂度下界。
以下问题都强于 \(\sqrt{n}×\sqrt{n}\) 的矩阵乘法；

1. 树上数颜色；
2. 区间出现次数平方和；
3. 区间逆序对。

各类矩阵乘法都没有低于 \(3\) 次的简单做法：

1. 01 矩阵乘法不比普通矩阵乘法弱；
2. \((\min,+)\) 矩阵乘法目前没有低于 \(3\) 次的做法；

(min,+) 卷积

在 dp 问题中常见。

1. 若两个数组均凸，则可以直接贪心 \(𝑂(𝑛)\)；
2. 若有一个数组是凸的，可以做到 \(𝑂(𝑛 log 𝑛)\)；
3. 一般的情况，无法低于 \(𝑛^2\)。

一般的 \((\min,\max)\) 卷积也需要 \(𝑛^2\)。

杂项难以优化的问题

1. 3-Sum 问题：\(𝑛^2\)；
2. 传递闭包：\(𝑛𝑚\)；
3. 全源最短路：\(𝑛^3\) 。

复杂度分治

复杂度平衡：分块法

分块法大体而言分成两种：

1. 多项式分块，例如根号分块。思路是大块整体考虑，散件逐个考虑。
2. \(log\) 分块。思路是将所有块分为 \(𝑂(𝑛)\) 类，从而 \(𝑂(1)\) 计算一块。

\(log\) 分块

1. 四毛子有用。

2. P9969

朴素的启发式合并是 \(𝑂(𝑛 log 𝑛)\) 的。
将序列每 \(𝐵\) 个分块。块的种类是 \(𝑂(2^𝐵 )\) 的。

对于每种块，由于我们启发式合并只考虑当前数的个数，所以我们只用求并记录总长度为\(B\)中有1_{B个数的情况，又由于$B$种情况由$B/2$的情况转移来吗？这里存疑}~，所以只需要\(𝑂(\frac{𝑛 log 𝑛}{B})\)的时间复杂度。

通过你在序列上分的块种类，判一下该种类块出现次数，如果出现一次，当前块操作数就为其中数的个数情况的操作数+1，以后若再遇到只为1即可。

最后，再启发式合并剩下的块即可。

好吧，这是我自己胡的，有点懒得实现