Day 3:图论部分 feecle6418讲课记录

上午：:树链剖分，线段树合并与树上 DSU

都会啊，直接讲题吧

注意事项：

注意：使用树上数据结构之前，建议先想一想

1. 能不能只用基本技巧解决，不用高级数据结构。
2. 能不能直接转为偏序问题等经典问题。

偏序问题

例子如下：

两棵树的子树交：

用dfn序把子树拍平成两个序列，我们要找（\(l_1<id1_x<r_1\) 和 \(l_2<id2_x<r_2\)）的满足的数，二维偏序问题，树状数组即可。

(链交)暴力找出链所包含区间，做一遍笛卡尔积，再来一遍cdq，O(nlogn^3)。

有几个子树内深度 \(=𝑥\) 的点到 \(x\) 的距离 \(≤𝑑\)(有边权)

易得三维偏序，分别是（\(x-1<dep_u<=x,l<=id_u<=r,dis_x<=dis_u<=dis_x+d\)）
发现第一维很丑，考虑离线把它优化掉。把询问和查询点分组，于是可以树状数组做二维偏序了。

倍增

倍增还是蛮有用的。

询问 𝑥→𝑦 路径上的点点权依次拼接形成数组的最大子段和。

维护四元组。
由于没有修改，没必要用树剖，就是维护 \(ls,rs,maxsum,rlen\) 即可。

点权保证是 0~9 的整数，询问 𝑥→𝑦 路径上的点点权依次拼接形成整数的值。

维护路径长度和权值。需要对上和下维护两种倍增数组。

幂等信息

某个信息 \(𝑥\) 是幂等的，就是说 \(𝑥\),\(𝑥\) 合并之后还是 \(𝑥\)。

对于幂等信息，原先合并要求“不重不漏、顺序不变”，现在只需要“不漏”就够了。

把该思想用到不带修序列信息维护上，有时能取得比线段树更优的询问复杂度，称此时的倍增数组为 ST 表。

后面的看PPT吧。