庞孙和积

题目：一天，鬼谷子随意从2-99中选取了两个数。他把这两个数的和告诉了庞涓， 把这两个数的乘积告诉了孙膑。但孙膑和庞涓彼此不知到对方得到的数。第二天， 庞涓很有自信的对孙膑说：虽然我不知到这两个数是什麽，但我知道你一定也不知 道。随后，孙膑说：我知道了。庞涓说：我也知道了。请问：这两个数是什麽？

想要解决这道题，就必须不断地转化角度，从两者的角度出发，来判断每一句话的背后所涵盖的信息。

1）        鬼谷子说，数字为2-99中的两个，其和给庞涓，其积给孙膑。

庞涓得到 sum = A + B；

孙膑得到 multi = A * B ;

2）         庞涓说，他不知道这两个数是什么，但我知道你一定也不知道

就是说，虽然sum拆分成不同的两个数字有很多种可能，而所有这些可能中，其两数乘积，无法分割成唯一的情形。

例如，sum为14，设A B为3，11。 则积为33。 33为两质数之和，如果孙膑拿到的积是这个数字，则他必能求出答案。庞涓如此笃定孙膑无法知道答案，则就是说庞涓所拿到的sum必不会分解成两个质数，或两个阈值内确定的数字【1】（例如84和97，因为其积为8148，孙膑如果使用穷举法进行分解，虽然质因数的个数超过两个，但其符合范围的分解只有一种）。因此庞涓拿的数字肯定不是14。

由此就能遍历所有可能的“和数”范围 [5，197] ，只要“和数”的所有分解A+B，都不会使A，B成为上述的两个质因数，或两个阈值内确定数字的情况。

伪代码如下：

For sum as [5,197] {
    For (A+B) = sum{
    If(  isStatic(A,B) ) break;
    }
    Else addToSumList(sum);
}

如此一来，遍历过后，发现共有84个符合庞涓和数的sum

3）        孙膑之后说，他本来不知道，但现在知道了。

孙膑对他所拿到的积也进行推理，发现分解成的质因数的个数的确大于两个。他不知道答案，这是理所当然的，这一点庞涓就已经做过推测了。

但自从庞涓说了那句话之后，就透露出信息了（庞涓的数字在那84个范围内的一个）。孙膑透过这个信息，结合自己的数字进行推理，结果就找到答案。孙膑的积能够分成不同的两数字，所有的分解情况下的两个数字，其和只有一个是符合那84个可能值，否则孙膑也无法透过这些信息找出答案。

4）        最后，庞涓说他也知道了。其实他透过类似的分析，由孙膑的角度出发，发现了这一个数字规律，解决了问题。虽然我们并无掌握任何一个数字，但是能够推测出满足这样一个逻辑规律的数字对，只有一组<4,13>。即其和积对为<17,52>。

其实这个问题的关键在于鬼谷子在选择数字的时候，巧妙地将两个数字规定在一个阈值范围之内。否则，应该会出现很多不同的情况。

 

PS：

【1】之前有网上的解法链接为http://blog.csdn.net/lonelysky/article/details/5349108。其中说到和数不能为偶，奇数也不能大于53。这样的说法正确，但不具备通用性。如果想研究阈值大于99的数，这样描述就不正确。合理的说法是，和数分解后的两因子，无法使用“乘除”运算，变化成阈值内另外的一对因子了。这样的说法就能统一质因数，和奇数小于53的两种情况。