计算几何个人学习笔记

update:

2026/6/13:
1.修改了不合理的序号
2.按照知乎修改了部分关于皮克定理的不正确内容
3.改正了一些炸掉的markdow

题单qwq

R圣的板

想区的饭子

参考文献:

此笔记仅为记录学习以及帮助复习 不包含任何利于理解的东西

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零.向量是什么(会的直接忽略)

一、 向量的定义

在二维欧几里得空间 \(\mathbb{R}^2\) 中，平面向量 \(\vec{A}\) 被定义为一个有序实数对：

\[\vec{A} = (x, y) \in \mathbb{R}^2 \]

若已知空间中两点 \(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\)，则由 \(P_1\) 指向 \(P_2\) 的有向线段所确定的向量 \(\overrightarrow{P_1P_2}\) 表示为：

\[\overrightarrow{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \]

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二、 向量的代数意义

对于任意向量 \(\vec{A} = (x, y)\)：

1. 向量的模长 (Magnitude / Norm)

向量的二范数（几何长度）记作 \(|\vec{A}|\)，其形式化定义为：

\[|\vec{A}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

2. 向量的辐角 (Direction Angle)

向量与正向 \(x\) 轴的夹角 \(\theta\) 的形式化定义为：

\[\theta = \text{atan2}(y, x) \in (-\pi, \pi] \]

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三、 向量的代数运算

设已知向量 \(\vec{A} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{B} = (x_2, y_2)\)，以及标量 \(k \in \mathbb{R}\)。

1. 向量加法 (Vector Addition)

\[\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \]

2. 向量减法 (Vector Subtraction)

\[\vec{B} - \vec{A} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \]

3. 标量乘法 (Scalar Multiplication)

\[k\vec{A} = (kx_1, ky_1) \]

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四、 板子

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct Pt{
    double x,y;
};

double len,ang;
Pt a,b,c;

Pt add(Pt g1,Pt g2){
    Pt r;
    r.x=g1.x+g2.x;
    r.y=g1.y+g2.y;
    return r;
}

Pt sub(Pt g1,Pt g2){
    Pt r;
    r.x=g2.x-g1.x;
    r.y=g2.y-g1.y;
    return r;
}

Pt mul(Pt g1,double k){
    Pt r;
    r.x=g1.x*k;
    r.y=g1.y*k;
    return r;
}

double get_l(Pt g1){
    return sqrt(g1.x*g1.x+g1.y*g1.y);
}

double get_a(Pt g1){
    return atan2(g1.y,g1.x);
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    a.x=3.0;
    a.y=4.0;
    b.x=1.0;
    b.y=2.0;
    c=add(a,b);
    len=get_l(a);
    return 0;
}

一.向量计算

1. 数乘 (Scalar Multiplication)

• 定义与形式化证明：
  已知向量 \(\vec{v} = (x, y)\)，实数 \(k\)。数乘运算将向量的每个分量扩大 \(k\) 倍：

\[k\vec{v} = (kx, ky) \]

证明：由相似三角形性质，若将直角三角形的斜边（向量长度）放大 \(k\) 倍，则其直角边（\(x\) 和 \(y\) 轴的分量）亦必然按比例放大 \(k\) 倍。

• 几何意义：保持向量方向不变（\(k>0\)）或完全相反（\(k<0\)），改变向量的长度。

2. 点乘 / 内积 (Dot Product)

• 形式化证明：
  已知 \(\vec{A} = (x_1, y_1)\)，\(\vec{B} = (x_2, y_2)\)。点乘定义为：

\[\vec{A} \cdot \vec{B} = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]

同时满足几何定理：\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta\)（\(\theta\) 为夹角）。

证明（利用余弦定理）：
考虑以原点 \(O\)、点 \(A(x_1, y_1)\)、点 \(B(x_2, y_2)\) 构成的三角形。边 \(AB\) 的长度平方为：

\[|AB|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2(x_1 x_2 + y_1 y_2) \]

根据三角形余弦定理：

\[|AB|^2 = |\vec{A}|^2 + |\vec{B}|^2 - 2|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta \]

由于 \(|\vec{A}|^2 = x_1^2 + y_1^2\) 且 \(|\vec{B}|^2 = x_2^2 + y_2^2\)，两式对照相减立刻得到：

\[|\vec{A}||\vec{B}|\cos\theta = x_1 x_2 + y_1 y_2 \]

• 几何意义：用于计算夹角及判断正交性。若点乘 \(>0\) 夹角为锐角；\(<0\) 为钝角；\(=0\) 则两向量垂直。

3. 叉乘 / 外积 (Cross Product)

• 形式化证明：
  二维向量的叉乘定义为行列式的值：

\[\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 y_2 - y_1 x_2 \]

同时满足几何定理：\(\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\)。

证明（利用三角函数展开）：
设 \(\vec{A}\) 的极角为 \(\alpha\)，\(\vec{B}\) 的极角为 \(\beta\)，则 \(\theta = \beta - \alpha\)。
代入极坐标成分：\(x_1 = |\vec{A}|\cos\alpha, y_1 = |\vec{A}|\sin\alpha\)；\(x_2 = |\vec{B}|\cos\beta, y_2 = |\vec{B}|\sin\beta\)。

\[x_1 y_2 - y_1 x_2 = |\vec{A}||\vec{B}|(\cos\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta) \]

根据正弦和差化积公式 \(\sin(\beta - \alpha) = \sin\beta\cos\alpha - \cos\beta\sin\alpha\)，上式即：

\[x_1 y_2 - y_1 x_2 = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta \]

• 几何意义：其绝对值是以 \(\vec{A}, \vec{B}\) 为邻边的平行四边形的面积。其正负号表达了 \(\vec{B}\) 相对 \(\vec{A}\) 的顺逆时针旋转走向。

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二、 直线、线段与点的位置关系

1. 判断点在直线的哪一边

• 证明：
  已知直线由有向线段 \(P_1(x_1, y_1) \to P_2(x_2, y_2)\) 唯一确定，判断点 \(Q(x_3, y_3)\) 的方位。
  构造向量 \(\vec{A} = \overrightarrow{P_1 P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)，\(\vec{B} = \overrightarrow{P_1 Q} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1)\)。
  计算叉积 \(D = \vec{A} \times \vec{B}\)。

证明：由叉积性质 \(\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta\)。

• 若 \(\theta \in (0, \pi)\)，则 \(\sin\theta > 0 \implies D > 0\)，点 \(Q\) 在 \(P_1 P_2\) 的逆时针方向（左侧）。
• 若 \(\theta \in (-\pi, 0)\)，则 \(\sin\theta < 0 \implies D < 0\)，点 \(Q\) 在 \(P_1 P_2\) 的顺时针方向（右侧）。
• 若 \(D = 0\)，则 \(\sin\theta = 0\)，三点共线。

2. 判断两线段是否相交 (跨立实验)

• 形式化证明：
  线段 \(AB\) 和 \(CD\) 相交的充要条件是它们彼此跨立对方。即：

1. \(C\) 和 \(D\) 在直线 \(AB\) 的两侧：\((\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \times (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}) \le 0\)
2. \(A\) 和 \(B\) 在直线 \(CD\) 的两侧：\((\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CA}) \times (\overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CB}) \le 0\)
3. 证明：如果线段相交，直线 \(AB\) 必然将线段 \(CD\) 斩断为两部分。这意味着点 \(C\) 在直线 \(AB\) 的一边（叉积符号为正），而点 \(D\) 必须在直线 \(AB\) 的另一边（叉积符号为负）。两者叉积相乘乘积必然 \(\le 0\)。同理，对直线 \(CD\) 检验 \(AB\) 顶点亦然。

3. 求两条直线的交点

• 证明（利用有向面积比）：
  已知第一条直线通过 \(A, B\)，第二条直线通过 \(C, D\)。设交点为 \(P\)。

证明：过 \(C\) 和 \(D\) 分别向直线 \(AB\) 作垂线，垂线段长度分别为 \(h_1, h_2\)。
由相似三角形可知：\(\frac{|CP|}{|PD|} = \frac{h_1}{h_2}\)。
而三角形 \(ABC\) 的面积 \(S_{ABC} = \frac{1}{2}|AB|h_1\)，三角形 \(ABD\) 的面积 \(S_{ABD} = \frac{1}{2}|AB|h_2\)。
因此：\(\frac{|CP|}{|PD|} = \frac{S_{ABC}}{S_{ABD}}\)。利用叉积的有向面积，我们可以精确得到点 \(P\) 分有向线段 \(CD\) 的比值。
代入分点坐标公式，交点 \(P\) 的位置为：

\[P = C + \overrightarrow{CD} \times \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}} \]

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三、 圆与多边形高阶算法

1. 求圆过圆外一点的切线

• 证明：
  已知圆心 \(O(x_0, y_0)\)，半径 \(R\)，圆外一点 \(P(x_1, y_1)\)。求切点 \(T\)。

证明：直角三角形 \(\triangle OTP\) 中，\(\angle OTP = 90^\circ\)。
斜边长度 \(d = |OP| = \sqrt{(x_1 - x_0)^2 + (y_1 - y_0)^2}\)。
切线长 \(L = |PT| = \sqrt{d^2 - R^2}\)。
切角 \(\alpha = \arcsin(R / d)\)。
求出向量 \(\overrightarrow{OP}\) 的极角 \(\beta = \text{atan2}(y_1 - y_0, x_1 - x_0)\)。
则两个切点相对于圆心的极角分别为 \(\beta + \alpha\) 和 \(\beta - \alpha\)。
切点坐标为 \((x_0 + R\cos(\beta \pm \alpha), y_0 + R\sin(\beta \pm \alpha))\)。

2. 判断点是否在多边形内部 (射线法)

• 证明：
  从待测试点 \(Q\) 发出一条任意方向的射线（通常水平向右）。

证明：根据若尔当曲线定理 (Jordan Curve Theorem)，一条闭合的多边形边界将平面精确切分为内部和外部。从外部无穷远处沿射线移动到点 \(Q\)，每穿过一次多边形的边，就发生一次“内部 \(\leftrightarrow\) 外部”的状态切换。

• 穿过奇数次：点 \(Q\) 在多边形内部。
• 穿过偶数次：点 \(Q\) 在多边形外部。

3. 三角形与任意多边形的面积

• 形式化证明（鞋带公式 / 鞋带定理）：
  对于顶点依次为 \(P_0, P_1, \dots, P_{n-1}\) 的任意多边形，其有向面积 \(S\) 为：

\[S = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (P_i \times P_{i+1}) = \frac{1}{2} \sum_{i=0}^{n-1} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) \]

（其中 \(P_n = P_0\)）

证明：在平面内任取一点作为原点 \(O\)。将多边形顶点与 \(O\) 连线，划分成 \(n\) 个有向三角形 \(\triangle O P_i P_{i+1}\)。
每个三角形的有向面积为 \(\frac{1}{2} (\overrightarrow{OP_i} \times \overrightarrow{OP_{i+1}})\)。
当多边形边界逆时针包围原点时，多边形外部的三角面积会在求和中正负抵消，最终精确收敛留有多边形的净面积。

4. 求多边形内部整点数量 (皮克定理)

• 证明：

皮克定理 (Pick's Theorem)：对于顶点全在格点（整数坐标点）上的简单多边形，其面积 \(S\)、内部整点数 \(I\)、边界上的整点数 \(B\) 满足完美的线性代数关系：

\[S = I + \frac{B}{2} - 1 \implies I = S - \frac{B}{2} + 1 \]

证明概要：可以证明该定理在单位正方形下成立（\(S=1, B=4, I=0 \implies 1 = 0 + 2 - 1\) 正确）。由于任何格点多边形都可以拆分成若干个格点三角形，且此代数式在多边形拼接时具有拓扑加和不变性（共有边上的整点会从 \(B\) 变为 \(I\) 相互抵消），故定理对一切格点多边形普适。

• 如何求 \(B\)：利用有理数几何性质，一条从 \((x_1, y_1)\) 到 \((x_2, y_2)\) 的线段，其边界上的整点数（不含起点）等于 \(\gcd(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)\)。

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四、凸包

1、 凸包的形式化定义

在二维实数欧几里得空间 \(\mathbb{R}^2\) 中，给定一个包含 \(n\) 个点的有限点集 \(S = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}\)。
点集 \(S\) 的凸包（记作 \(\text{CH}(S)\)）定义为包含 \(S\) 的所有凸组合的最小集合，即：

\[\text{CH}(S) = \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i P_i \ \middle|\ \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1, \ \alpha_i \ge 0 \right\} \]

在几何上，\(\text{CH}(S)\) 是一个凸多边形，其顶点属于 \(S\)，且 \(S\) 中的所有点要么在该多边形的边界上，要么在其内部。

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2、 核心判定工具：有向面积（叉积）

对于平面上的三个有序点 \(O, A, B\)，通过构造向量 \(\overrightarrow{OA} = A - O\) 和 \(\overrightarrow{OB} = B - O\)，定义其二维叉积（有向面积的 2 倍）为：

\[\text{crs}(O, A, B) = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = (A.x - O.x)(B.y - O.y) - (A.y - O.y)(B.x - O.x) \]

根据叉积的代数性质，转向判定规则如下：

• \(\text{crs}(O, A, B) > 0 \iff\) 从 \(O \to A\) 再到 \(B\) 满足逆时针旋转（左拐）。
• \(\text{crs}(O, A, B) < 0 \iff\) 从 \(O \to A\) 再到 \(B\) 满足顺时针旋转（右拐）。
• \(\text{crs}(O, A, B) = 0 \iff\) \(O, A, B\) 三点共线。

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3、 算法一：Andrew 算法（Monotone Chain）

Andrew 算法通过按水平坐标排序，将凸包分为下凸壳（Lower Hull）和上凸壳（Upper Hull）分别构建。

1. 算法流程

1. 将点集 \(S\) 按照 \(x\) 坐标升序排序，若 \(x\) 相同则按 \(y\) 坐标升序排序。
2. 构建下凸壳：从左到右遍历排序后的点，用单调栈维护顶点。对于新加入的点 \(P_i\)，若栈顶两点与 \(P_i\) 的转向关系满足 \(\text{crs}(S_{top-1}, S_{top}, P_i) \le 0\)（非左拐），则将栈顶元素弹出，重复此过程直到满足左拐，再将 \(P_i\) 入栈。
3. 构建上凸壳：从右到左倒序遍历点集，重复上述单调栈维护逻辑。

2. 证明

证明（反证法）：
假设按照上述规则构建的下凸壳中存在一个局部凹陷。这意味着存在连续三点 \(A, B, C\)，使得 \(\text{crs}(A, B, C) \le 0\)。
由于算法在遍历到点 \(C\) 时，会检查栈顶两点（此时即为 \(A, B\)）与 \(C\) 的有向面积。若满足 \(\text{crs}(A, B, C) \le 0\)，while 循环中的 st.pop_back() 必然会被执行，从而将点 \(B\) 从栈中弹出。
因此，最终留在栈中的任意连续三点必然严格满足 \(\text{crs}(S_{top-1}, S_{top}, P_i) > 0\)（全左拐关系），在数学上确保了多边形的局部与全局凸性。同样地，由于排序后起点和终点具有极值性，它们必然属于拓扑边界，结合上凸壳的逆向扫描，确保了生成的闭合多边形包含所有点。

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4、 算法二：Graham Scan 算法

Graham Scan 则是基于极角排序（Polar Angle Sort）的单调栈扫描算法。

1. 算法流程

1. 选择点集 \(S\) 中 \(y\) 坐标最小的点作为基准点 \(P_0\)（若 \(y\) 相同则取 \(x\) 最小者）。
2. 将其余所有点按照相对于 \(P_0\) 的极角 \(\theta = \text{atan2}(P_i.y - P_0.y, P_i.x - P_0.x)\) 顺时针/逆时针排序。
3. 用单调栈正向遍历排序后的点集，同样利用 \(\text{crs}(S_{top-1}, S_{top}, P_i) \le 0\) 的退化判定弹出凹点。

2. 证明

证明概要：
由于基准点 \(P_0\) 处于点集的绝对左下角，其余点相对于 \(P_0\) 的极角严格分布在 \([0, \pi)\) 区间内。
按极角序升序排列后，连接 \(P_0\) 与各顶点的射线 \(\overrightarrow{P_0P_i}\) 随索引 \(i\) 的增加单调向左摆动。
当单调栈向前推进时，若出现 \(\text{crs}(S_{top-1}, S_{top}, P_i) \le 0\)，由于 \(P_i\) 位于比 \(S_{top}\) 更靠左的射线上，该几何状态表明 \(S_{top}\) 掉入了由 \(P_0, S_{top-1}, P_i\) 构成的闭合三角形内部，成为了非边界点。将其弹出栈并保持全行程左拐，最终在极角单调转完一圈回到 \(P_0\) 时，栈内保存的序列即构成完备的全局凸壳边界。

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