几个数论基础概念

质数

Mersenne 质数

先来看一个引理：

若 \(n\gt 1\)，且 \(a^n-1\) 为质数，则 \(a=2\)，\(n\) 为质数。

这个太显然了，证明过程就不写了。

\(M_n=2^n-1\) 称为第 \(n\) 个 Mersenne 数。当 \(p\) 为质数且 \(M_p\) 为质数时，\(M_p\) 称为 Mersenne 质数。

Fermat 质数

先证明一个引理：

若 \(2^m+1\) 为质数，则 \(m=2^n\)。

容易发现，若 \(m\) 有奇因子 \(q\)，令 \(m=qr\)，则

\[2^{qr}+1=(2^r+1)\sum_{i=0}^{q-1}(-1)^i2^{ri} \]

显然不是质数。

\(F_n=2^{2^n}+1\) 称为第 \(n\) 个 Fermat 数，\(F_0\) 到 \(F_4\) 均为质数，所以 Fermat 猜测所有这样的数都是质数。然而接下来的几个都不是质数，下一个质数直到 \(F_{10}\) 才会出现，而这个数已经有三百多位了。

Euler 函数

Euler 定理

若 \(\gcd(k,m) = 1\)，则

\[k^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m \]

证明十分巧妙：

从模 \(m\) 的 \(\varphi(m)\) 个剩余类中各取一个代表元，组成一个缩剩余系，简称缩系。

用 \(a_1,a_2,\cdots,a_{\varphi(m)}\) 表示一个缩系，由于 \(\gcd(k,m)=1\)，则 \(\lbrace ka_i\rbrace\) 也是一个缩系。于是

\[\prod_{i=1}^{\varphi(m)} ka_i \equiv\prod_{i=1}^{\varphi(m)} a_i \pmod m \]

根据 \(\gcd(a_i,m) = 1\)，可得 \(k^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m\)。

Fermat 小定理

若 \(p\) 为质数，\(\forall a\in \mathbb{N}\)，有

\[a^p \equiv a \pmod p \]

使用 Euler 定理即可证明。

同余

Wilson 定理

若 \(p\) 为质数，则

\[(p-1)!\equiv -1\pmod p \]

原根

重要结论

若 \(p\) 为质数，则同余方程

\[x^k \equiv 1\pmod p \]

的解数为 \(\gcd(k, p - 1)\)。

阶

设 \(h\) 为整数，\(\gcd(h,n)=1\)，满足

\[h^l \equiv 1\pmod n \]

的最小正整数 \(l\)，称为 \(h\) 模 \(n\) 的阶。

设 \(l|p-1\)，则模 \(p\) 的阶为 \(l\) 的互不同余的整数个数为 \(\varphi(l)\)。

原根

阶为 \(p-1\) 的数称为模 \(p\) 的一个原根。

\(p\) 有 \(\varphi(p-1)\) 个原根，若 \(g\) 为 \(p\) 的原根，则

\[g^0,g^1,\cdots,g^{p-2}\pmod p \]

为模 \(p\) 的一个缩系。

指数

任一整数 \(p(p\nmid n)\)，必有一数 \(a\)，满足

\[n=g^a \pmod p,0\le a\lt p-1 \]

\(a\) 称为 \(n\) 模 \(p\) 的指数，记为 \(a=\text{ind}_g n\)。

指数的性质与对数类似：

\[\text{ind}(ab) \equiv \text{ind}(a) + \text{ind}(b)\pmod {p-1} \\ \text{ind}(a^l)\equiv l\cdot \text{ind}(a) \pmod {p-1} \]

构造

\(m\) 有原根存在的充要条件：\(m=2,4,p^l,2p^l\)（\(p\) 为奇质数）。