图论

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图论是算法竞赛的绝对核心板块。它不只研究“点和边”，更研究关系、流动、连通与匹配。
本分类按问题形态与核心算法划分，每类对应一套经典模型和求解范式。

一、最短路

最短路问题是图论中最基础也最广泛应用的问题之一。其核心是：在带权或不带权的图中，寻找两点之间路径权值和的最小值。不同图的性质催生了不同的算法：Dijkstra 适用于非负权图，Floyd 适用于全源最短路，Bellman-Ford 和 SPFA 处理负权边。最短路问题的难点通常不在于算法本身，而在于将实际问题建模为图，并识别出最短路结构。
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二、连通性

连通性问题研究图中点的可达关系与结构分解。无向图中，Tarjan 算法可以求解割点、割边、点双连通分量和边双连通分量，将图分解为树结构进行分析；有向图中，Tarjan 算法求解强连通分量，将图压缩为 DAG。并查集则处理动态连通性维护。连通性问题的核心是识别图的分裂与合并结构，将其转化为更简单的等价关系或树结构。
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三、生成树

生成树问题研究如何从图中选出一个无环子图，连通所有顶点且边权总和最小（或最大）。Kruskal 和 Prim 是解决最小生成树的两种经典范式，分别基于“全局最小边贪心”和“局部生长”。生成树的扩展问题包括次小生成树、最小瓶颈路、最小生成森林、Kruskal 重构树等。其共同特征是：贪心选择边加入集合，并在加入前判定是否形成环。
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四、二分图

二分图是图论中结构最规整的图类之一，其特点是顶点可划分为两个独立集合，所有边都跨越两个集合。二分图判定（染色法）是基础，匹配问题是核心：无权匹配用匈牙利算法，带权匹配用 KM 算法。二分图匹配的背后是对应于“资源分配”或“任务调度”类问题，其匹配数等于最大流的值，因此也可用网络流统一求解。
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五、网络流

网络流是图论中最强大的建模工具之一，它研究在容量限制下从源点向汇点输送流量的最优方案。FF 方法给出增广路的基本思想，EK 用 BFS 保证最短路增广，Dinic 通过分层图和当前弧优化达到更高效率，ISAP 则进一步优化了重复 BFS 的开销。网络流可统一建模二分图匹配、最大权闭合图、最小割、费用流等问题，其核心价值在于将约束与目标转化为容量和费用的结构。
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六、差分约束

差分约束是线性约束与图论结合的产物。当变量之间存在若干形如 \(x_u - x_v \le w\) 的不等式时，可将变量视为点，不等式视为边，从而将可行性判定和最值求解转化为最短路或最长路问题。差分约束的关键是将数学不等式转化为图的边，并识别图中负环与解的存在性。
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