数学

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算法竞赛中的数学，远不止“套公式”。它涵盖从离散结构到连续几何、从组合计数到最优化决策的广泛内容。
本分类按核心工具与建模范式划分，每类对应一套独立的思维框架和常用技术栈。

一、数学分析与建模

数学分析与建模的核心任务是将实际问题转化为数学语言，再通过分析工具求解。在算法竞赛中，这通常表现为对递推结构、计数结构或最优化结构的建模。生成函数是其中的典型工具，它将序列编码为形式幂级数，从而将组合问题转化为代数运算。除此之外，数学分析还包括渐近分析、母函数、递推关系求解等内容，其本质是寻找问题内在的结构规律，并用数学符号精确表达。

二、数论

数论研究整数的性质与结构，是算法竞赛数学中最基础也最活跃的板块之一。其核心包括整除性、同余、素数分布、不定方程等经典内容。现代算法竞赛中的数论更强调代数结构的视角，如线性基处理异或空间、模意义下的线性代数等。数论题的难点往往在于将问题抽象为整数结构问题，再选择合适的代数工具求解。

三、博弈论

博弈论研究多方决策者在冲突与合作中的最优策略。在算法竞赛中，主要关注的是“公平组合博弈”——即两名玩家轮流操作、信息完全公开、无随机因素的博弈模型。其核心理论包括必胜态与必败态的判定、SG 函数、策梅洛定理等。博弈论题目通常不依赖复杂的数据结构，而是考验对“局面性质”的洞察力。

四、计数问题

计数问题是离散数学的核心，其目标是统计满足特定条件的对象个数。这一领域融合了组合数学、线性代数与多项式算法：组合数学提供排列组合、容斥原理等基本工具；线性代数通过矩阵快速幂、矩阵树定理等处理递推与图计数；多项式算法（卷积、变换）则用于加速大规模组合计数。计数问题的核心挑战在于设计清晰的不重不漏的分类体系。

五、计算几何

计算几何研究如何用计算的方式处理几何对象。其基础工具包括向量运算（点积、叉积）、极角排序、凸包构建等，这些工具支撑起点线面关系的各类判定与计算。更高层次的问题包括半平面交、旋转卡壳、最小圆覆盖等，它们往往需要将几何性质与算法设计深度结合。计算几何的特殊性在于：算法本身通常直观，但实现中需严格处理精度与边界情况。

六、线性规划

线性规划研究在若干线性约束条件下优化一个线性目标函数的问题。虽然通用线性规划求解器在竞赛中并不常见，但其特例——如网络流、二分图匹配、拟阵上的贪心——却是竞赛的核心内容。线性规划的几何解释（可行域为凸多面体）和对偶理论为其特例提供了理论支撑。线性规划的竞赛价值在于：许多看似复杂的最优化问题，实际上都是某种特殊形式的线性规划。

设计说明

板块	核心建模工具	典型问题形态
数学分析与建模	形式幂级数、递推分析	“有多少种方式构造…”
数论	同余理论、线性空间（异或）	“整数的结构与表示…”
博弈论	SG 函数、状态图	“先手是否必胜…”
计数问题	组合公式、矩阵、卷积	“满足条件的方案数…”
计算几何	向量运算、极角、凸包	“几何图形的性质与关系…”
线性规划	约束 + 目标函数、对偶	“在限制下最大/最小化…”

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后续每个大类将单独展开为详细笔记，包含核心定理、模板代码与经典例题。