动态规划
📚 动态规划（Dynamic Programming）学习笔记
欢迎来到我的算法学习笔记！动态规划 是算法面试和竞赛中的重中之重，也是许多复杂问题的核心解法。本篇将带你从零开始，建立对 DP 的直觉和系统性思维。
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什么是动态规划
动态规划（DP） 是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而高效求解最优化问题的方法。它的核心思想是 “记住你算过的，避免重复劳动”。
与分治法不同，DP 的子问题往往不是独立的，而是相互重叠的（例如递归树中的相同节点）。DP 通过 表格（数组） 记录中间结果，将指数级复杂度降为多项式级。
核心思想：最优子结构与重叠子问题
- 最优子结构：一个问题的最优解包含其子问题的最优解。即，我们可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。
- 重叠子问题：在递归求解过程中，相同的子问题会被反复计算。DP 利用记忆化（Memoization）或自底向上的表格法消除这些重复。
例如，斐波那契数列 F(n)=F(n-1)+F(n-2) 中，F(3) 在计算 F(5) 和 F(4) 时被重复计算多次，DP 通过数组保存 F(3) 的值，下次直接使用。
DP 的适用场景
DP 通常用于解决最优化问题（求最大值、最小值、最少步数等）或计数问题（求方案数），并且具备以下两个特征：
- 问题可以分解为规模更小的相似子问题（最优子结构）。
- 子问题的解可以被多次复用（重叠子问题）。
典型的 DP 应用包括：
- 背包问题（0-1背包、完全背包）
- 字符串编辑（最长公共子序列、编辑距离）
- 路径规划（网格最短路径、硬币找零）
- 股票买卖、区间 DP、树形 DP 等。
DP 解题四步法
无论题目多么复杂，都可以遵循这四步来设计 DP 算法：
-
定义状态（状态表示）
确定dp[i]或dp[i][j]的含义。例如：dp[i]表示前i个物品能获得的最大价值，或dp[i][j]表示字符串 A 的前 i 个字符与 B 的前 j 个字符的最长公共子序列长度。 -
推导状态转移方程
分析当前状态与之前状态的关系，写出递推式。这是 DP 的核心，通常基于“最后一步”或“决策”来思考。 -
初始化（边界条件）
确定最基础的状态值，如dp[0] = 0或dp[i][0] = 0。边界处理不当会导致结果错误。 -
确定计算顺序
根据状态转移的依赖关系，决定循环方向（通常从小到大，也可能从大到小）。对于二维 DP，常见为双重循环。
此外，必要时进行空间优化（滚动数组）以降低内存消耗。
动态规划分类详解
🔹 线性 DP
核心思想：状态沿着一个方向（如一维数组或两个序列）线性递推，通常从 dp[i-1]、dp[i-1][j] 等前驱状态转移而来。
典型模型：最长上升子序列（LIS）、最长公共子序列（LCS）、最大子段和、编辑距离。
优化方向：LIS 可结合二分查找优化到 O(n log n)；LCS 在特定数据下可用 bitset 加速。
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🔹 多维 DP
核心思想：状态需要两个及以上的维度来描述（如 dp[i][j][k]），常见于二维网格、三维背包或资源分配问题。
典型模型：二维网格路径计数（含障碍）、多维背包（多种费用）、双序列加限制条件。
优化方向：滚动数组降维（如背包问题的一维优化）；若维度过多，考虑状态压缩。
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🔹 数位 DP
核心思想：解决与数字的数位构成相关的问题，通常统计区间 [L, R] 内满足特定性质的数字个数。
典型模型：不含某数字、数字和满足条件、能被某数整除、数位单调性等。
状态定义：dp[pos][state][limit][lead]，其中 pos 为数位位置，state 为当前累积状态，limit 表示是否紧贴上界，lead 表示前导零。
实现技巧：记忆化搜索是主流，避免繁琐的循环判断。
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🔹 树形 DP
核心思想：在树上进行动态规划，利用 DFS 回溯时从子节点收集信息，推算出父节点的最优值。
典型模型：树上最大独立集（选/不选当前节点）、树的直径、树形背包（依赖背包）、换根 DP（二次扫描）。
状态定义：通常 dp[u][0/1] 表示以 u 为根的子树，u 选或不选的最优值；树形背包则用 dp[u][j] 表示以 u 为根的子树内选择 j 个节点的最优值。
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🔹 概率 DP
核心思想：处理随机过程的期望值或概率分布，通常从终止状态倒推，利用全期望公式或线性期望性质。
典型模型：掷骰子达到目标的期望步数、随机游走吸收概率、马尔可夫决策过程。
状态定义：dp[i] 表示从状态 i 到达目标状态的期望（或概率），转移方程常为 dp[i] = sum(p[i][j] * dp[j]) + w[i]。若存在环，需列方程高斯消元。
重要公式：全期望公式 E[X] = E[ E[X|Y] ] 是推导核心。
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🔹 状压 DP
核心思想：用二进制位表示集合状态，将状态压缩为一个整数，在 n ≤ 20 时暴力枚举所有子集状态。
典型模型：旅行商问题（TSP）、哈密顿路径、覆盖问题（如铺瓷砖）、二分图完美匹配计数。
状态定义：dp[mask] 或 dp[mask][i]，其中 mask 表示已选元素的集合，i 表示当前所在节点。
优化技巧：枚举子集 for (sub = mask; sub; sub = (sub-1) & mask)，预处理辅助数组。
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🔹 区间 DP
核心思想：状态定义在区间 [i, j] 上，通过枚举分界点将大区间拆分为两个或多个子区间，合并子区间的解得到当前区间的解。
典型模型：石子合并（最小/最大得分）、矩阵链乘、括号匹配、回文分割（最少切割）。
状态定义：dp[i][j] 表示区间 [i, j] 上的最优值。
计算顺序：按区间长度从小到大枚举，确保更短区间的值已计算。
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🔹 数据结构优化
核心思想：利用数据结构（如线段树、树状数组、单调队列、平衡树）来加速状态转移，将原本 O(n²) 甚至 O(n³) 的 DP 优化到 O(n log n) 或 O(n)。
典型应用：
- 单调队列优化：用于滑动窗口类转移，如
dp[i] = max_{j∈[i-w, i-1]} (dp[j] + val[j])。 - 树状数组/线段树：用于维护前缀最值、二维偏序，如 LIS 的 O(n log n) 实现、带权 LIS。
- 斜率优化 / 凸包优化：将形如
dp[i] = min_j (dp[j] + cost(j,i))的转移转化为直线交点维护。
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🔹 其他
涵盖内容：以上未归类的 DP 类型，如：
- 插头 DP / 轮廓线 DP：处理网格连通性、铺砖问题，状态表示轮廓线上的插头状态。
- 动态 DP（动态树分治）：在树结构上支持点权修改，用矩阵乘法和线段树维护 DP 值。
- 博弈 DP：结合 SG 函数或极小极大搜索的 DP。
- 字符串 DP（如 AC 自动机 + DP）：处理多模式串匹配计数。
说明：这些类型相对小众，但在高级竞赛中会出现，可根据兴趣学习。
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