关于二维二项式反演的正确性

前言

我第一次看到这个idea是神 \(Fuyuki\) 去年6月份的时候出了一套题目，里面用到了这个东西，不过他当时没有给出证明。后来看到了 \(boshi\) 在 \(Mina\) 上发的计数合集，里面证明了这玩意儿的正确性，我个人认为还是一个非常妙的东西，所以专门开个坑记录一下。

柿子

\[\text{if} \quad f_{n,m}=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m}(\binom{n}{i} \binom{m}{j}g_{i,j}) \\\ \text{then} \quad g_{n,m}=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m}((-1)^{(n+m-i-j)}\binom{n}{i} \binom{m}{j}f_{i,j}) \\\ \]

proof

\(step 1:\) 变成能二项式反演的形式
令 \(F_{i}=f_{i,m}\) ,\(G_{i}=\sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j} g_{i,j}\)
原式变为 \(F_n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}G_i\)
直接反演一波 \(G_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F_i\)
再展开回去 \(\sum_{j=0}^{m} \binom{m}{j} g_{n,j}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f_{i,m}\)
注意，第一步是把 \(m\) 视为了一个常量。

\(step 2:\) 再二项式反演一遍
令 \(F_{i}=\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}f_{j,i}\) , \(G_{i}= g_{n,i}\)
原式变为 \(F_m=\sum_{i=0}^{m}\binom{m}{i}G_i\)
直接反演一波 \(G_m=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}F_i\)
再展开回去 \(g_{n,m}=\sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\binom{m}{i}\sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}\binom{n}{j}f_{j,i}\)
\(i,j\) 互换（就是换个名字，看起来比较亲切）\(g_{n,m}=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}\binom{m}{j}f_{i,j}\)
整理一下，求和符号提前，就是开头的柿子力！