欧拉函数的简单证明及推导

定义：对于一个正整数n，欧拉函数为小于等于n且与n互质的数的个数，记为φ(n)

先说明下以下含义：

1）gcd(a, b) = t，即a和b的最大公因数为t

2）a ≡ b mod n，即a = b + k * n，k∈ Z

再说明下求模的性质

1）若gcd(a, b) = n,则gcd(a + b, b) = gcd(a - b, b) = gcd(a mod b, b) = n

2）a * b mod n = (a mod n * b mod n) mod n，即求模中先进行模运算和乘法运算计算结果相同

3）当n为质数，φ(n) = n - 1，因为1 ~ n - 1都与n互质

开始推导欧拉函数：

证明：设与n互质的数为t1、t2、……、tφ(n)，设存在a，满足gcd(a, n) = 1，我们很容易得到a*t1、a*t2、……a * tφ(n)，其中每项mod n都不相同（反证法，设其中有x、y，1 <= x < y <= φ(n)，满足a * tx mod n = a * ty mod n，即a * (tx - ty) ≡ 0 mod n，又因为gcd(a, n) = 1，则|tx - ty| mod n = 0，而 |tx - ty| < n且不相等，则等式不成立，证毕），且每项 mod n 都满足gcd(a * ti, n) = 1（此处仅对t1进行证明，因为gcd(a, n) = 1，gcd(t1, n) = 1，则gcd(a * t1, n) = 1，也可以得到gcd(a * t1 mod n, n) = 1（性质1）），则可以得到a*t1、a*t2、……a * tφ(n) mod n 后都与n互素，，且数量为φ(n)，因此我们可以得出：t1 * t2 * …… *tφ(n) ≡ a * t1 * a * t2 * …… * a*tφ(n) mod n（性质2），两边化简可以得到：

证毕

 

后续：你可以发现费马小定理就是欧拉函数计算公式的特殊情况，即当n(这里用p代替n)为质数时，由性质3化简该式可以得到：

欧拉函数计算公式是RSA算法的基础，在学习RSA算法之前能自己推导一下该计算公式对你大有帮助。