剑指offer的66题之第10题：矩形覆盖

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

 

 

思路分析：

痛定思痛，还是不能够贪小便宜。用归纳法归纳如下，

（1）当 n < 1时，显然不需要用2*1块覆盖，按照题目提示应该返回 0。

（2）当 n = 1时，只存在一种情况。

 

（3）当 n = 2时，存在两种情况。

 

（4）当 n = 3时，明显感觉到如果没有章法，思维难度比之前提升挺多的。

 

... 尝试归纳，本质上 n 覆盖方法种类都是对 n - 1 时的扩展。

可以明确，n 时必定有 n-1时原来方式与2*1的方块结合。也就是说, f(n) = f(n-1) + ?(暂时无法判断)。

（4）如果我们现在归纳 n = 4，应该是什么形式？

4.1）保持原来n = 3时内容，并扩展一个 2*1 方块，形式分别为 “| | | |”、“= | |”、“| = |”

4.2）新增加的2*1 方块与临近的2*1方块组成 2*2结构，然后可以变形成 “=”。于是 n = 4在原来n = 3基础上增加了"| | ="、“= =”。

再自己看看这多出来的两种形式，是不是只比n = 2多了“=”。其实这就是关键点所在...因为，只要2*1或1*2有相同的两个时，就会组成2*2形式，于是就又可以变形了。

所以，自然而然可以得出规律： f(n) = f(n-1) + f(n-2)， (n > 2)。

 

如果看了这一套理论还存在疑惑。可以尝试将题目改成1*3方块覆盖3*n、1*4方块覆盖4*n。

相应的结论应该是：

（1）1 * 3方块 覆 盖3*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 3)， (n > 3)

（2） 1 *4 方块 覆 盖4*n区域：f(n) = f(n-1) + f(n - 4)，(n > 4)

更一般的结论，如果用1*m的方块覆盖m*n区域，递推关系式为f(n) = f(n-1) + f(n-m)，(n > m)。

 

代码：

方法1：递归方法

class Solution {
public:
    int rectCover(int target) {
        if (target < 1)
            return 0;
        else if (target == 1 || target == 2)
            return target;
        else
            return rectCover(target-1) + rectCover(target-2);
    }
};

方法2：

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
        if (number <= 0) {
            return number;
        }
        int f1 = 1;
        int f2 = 2;
        int f3;
         
        for (int i = 3; i <= number; i++) {
            f3 = f1 + f2;
            f1 = f2;
            f2 = f3;
        }
        return f3;
    }
};