数学归纳法(含费马小定理与扩展欧几里得的证明)
前言
感动,终于学会数学归纳法了
其实数学归纳法很简单
说通俗一点,就是证明最小的数是符合的,然后通过k证明k+1是正确的
没什么好说的,通过实践感受一下吧
数学归纳法证明费马小定理
\(求证:a^p\equiv a(mod\space p)\space ,p\in P,a \in N^*\)
很显然当\(a=1\)时等式是成立的
我们假设当\(a=k\)时等式成立
我们得到以下结论
\(\because k^p\equiv k(mod\space p)\)
\(\therefore p|(k^p-k)\)
然后我们需要通过这个结论推出\(a=k+1\)是成立的
我们同理需要证明
\(p|[(k+1)^p-(k+1)]\)
我们可以把这个玩意儿转化
\(p|(\sum_{i=0}^{p}C_{p}^{i}k^i-k-1)\)
然后我们可以把这玩意儿与结论结合起来
化简为
\(p|[\sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i+(k^p-k)]\)
由于\(p|(k^p-k)\)
所以我们需要证明\(p|\sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i\)
我们想想\(C_p^{i}=\frac{p!}{i!(p-i)!}\)
\(\because p\in P\)
\(\therefore p|\sum_{i=1}^{p-1}C_{p}^{i}k^i\)
证毕
证明一个玩意儿
求证:\(\prod_{i=2}^{n}(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2n+1}}{2}\)
我们先求出特解n=1时不等式成立
我们在假设n=k时不等式成立
得到
\(\prod_{i=2}^k(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2k+1}}{2}\)
我们要求证n=k+1时不等式成立
我们需要求证\(\prod_{i=2}^{k+1}(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2k+3}}{2}\)
那怎么求证呢?
\(\because \prod_{i=2}^k(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2k+1}}{2}\)
\(\therefore \prod_{i=2}^{k+1}(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2k+1}}{2}*\frac{2k+2}{2k+1}\)
\(\because\frac{\sqrt{2k+1}}{2}*\frac{2k+2}{2k+1}\)
\(=\frac{\sqrt{4k^2+8k+4}}{2\sqrt{2k+1}}\)
\(又\because\frac{\sqrt{4k^2+8k+4}}{2\sqrt{2k+1}}>\frac{\sqrt{4k^2+8k+3}}{2\sqrt{2k+1}}\)
\(又\because\frac{\sqrt{4k^2+8k+3}}{2\sqrt{2k+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{2k+1}\sqrt{2k+3}}{2\sqrt{2k+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{2k+3}}{2}\)
\(\therefore \prod_{i=2}^{k+1}(1+\frac{1}{2i-1})>\frac{\sqrt{2k+3}}{2}\)
证毕
扩展欧几里得
解方程:\(ax+by=gcd(a,b)\)
欧几里得定理\(gcd(a,b)=gcd(b,a\space mod \space b)\)
这里就不累赘了
很显然,我们有一个特解
当\(b=0\)时
\(x=1,y=0\)
并且显然\(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\space mod \space b)\)
那么我们可以通过求出\(bx^{'}+(a\space mod \space b)y^{'}=gcd(b,a\space mod \space b)\)
很显然,我们最后会移到特解
那么我们怎么通过\(x^{'},y^{'}\)求出\(x,y\)呢
设\(d=gcd(a,b)=gcd(b,a\space mod \space b)\)
\(\therefore ax+by=bx^{'}+(a\space mod \space b)y^{'}=d\)
\(\therefore ax+by=bx^{'}+(a\space mod \space b)y^{'}\)
\(\therefore ax+by=bx^{'}+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y^{'}\)
\(\therefore ax+by=bx^{'}+ay^{'}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor by^{'}\)
\(\therefore ax+by=ay^{}+b(x^{'}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y^{'})\)
\(\therefore x=y^{'},y=x^{'}-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y^{'}\)
总结
我们首先证明特殊解满足要求,然后通过将k+1转化成k
然后由k证明k+1成立
就完成了
