CF1537D Deleting Divisors

Alice 和 Bob 轮流对正整数 \(n\) 进行操作。每次操作减去当前的 \(n\) 的一个因子 \(d,d\neq 1,d\neq n\)。不能操作判负。

如果 \(n\) 是质数，显然先手必败。如果 \(n\) 不是质数，我们分三种情况讨论：

1. \(n\) 为奇数；
2. \(n\) 为偶数但不是 \(2\) 的幂；
3. \(n\) 为 \(2\) 的幂。

如果 \(n\) 为奇数，则 \(n\) 的所有因子都是奇数，所以减去任意的因子 \(d\)，得到的 \(n-d\) 都是偶数。而且因为 \(n\) 还有其它的奇数因子（已经保证了 \(n\) 不是质数），所以 \(n-d\) 也不是 \(2\) 的幂。转移到了情况 2。

如果 \(n\) 为偶数但不是 \(2\) 的幂，我们不妨减去一个奇数因子 \(d\)，转移到情况 1。如果 \(n-d\) 是质数，则先手必胜；如果 \(n-d\) 不是质数，则一定会在下一步转移回到情况 2。我们可以通过这样的操作，使得己方永远保持在情况 2，也就永远不会输（情况 2 不会走到质数）。游戏可以在有限步内结束，则对方一定会输。所以，情况 2 先手必胜，情况 1 先手必败。

对于情况 3，我们有两种操作方式：

• 减去一个 2；
• 减去 \(\dfrac{n}{2}\)。

如果减去 \(2\)，就转移到情况 2，对方先手必胜，不可取，只能减去 \(\dfrac{n}{2}\)。此时双方轮流将 \(n\) 折半，\(\log_2 n\) 为奇数时先手必败，为偶数时先手必胜。

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    if (n & 1) {
        cout << "Bob\n";
        return;
    }
    int cnt = 0;
    while (n % 2 == 0)  n /= 2, cnt++;
    if (n != 1) cout << "Alice\n";
    else cout << ((cnt & 1) ? "Bob" : "Alice") << '\n';
}