数值分析期末复习

第五章 插值法与拟合法

拉格朗日插值

已知函数在 \(n+1\) 个点上的函数值 \(f(x_i)\)：

• 基函数： \(l_{in}=\prod\limits_{k=0,k\neq i}^n \dfrac{x-x_k}{x_i-x_k}\)
• 插值多项式：\(L(x)=\sum\limits_{i=0}^n y_il_{in}\)
• 插值余项：\(\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)\)，其中 \(\xi\in(a,b), \space\omega_{n+1}(x)=\prod\limits_{k=0}^n(x-x_k)\)

拉格朗日插值是 \(n\) 阶多项式插值，取两个点则是线性插值（\(n=1\)），取三个点得到抛物线插值（\(n=2\)）

牛顿插值

差商

• 一阶差商：\(f[x_i,x_j]=\dfrac{x_j-x_i}{j-i}\)
• 二阶差商：\(f[x_i, x_j, x_k]=\dfrac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{k-i}\)
• \(k\) 阶差商：\(f[x_{i0},x_{i1},\cdots,x_{ik}]=\dfrac{f[x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ik}]-f[x_{i0},x_{i1},\cdots,x_{ik-1}]}{x_{ik}-x_{i0}}\)

差商的性质

• 若 \(f(x)\) 有 \(k\) 阶连续导数，则 \(f[x_{i0},x_{i1},\cdots,x_{ik}]=\dfrac{f^{(k)}(\xi)}{k!}\)
• \(n\) 次多项式 \(f(x)\) 的 \(k\) 阶差商，在 \(k<n\) 时是一个 \(n-k\) 阶的多项式，在 \(k\ge n\) 时恒等于 \(0\)

牛顿插值

• 插值多项式：\(N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots+f[x_0,x_1,\cdots,,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})\)
• 插值余项：\(R_n(x)=f[x_0,x_1,\cdots,x_n,x]\omega_{n+1}(x)\)

如果插值节点等距，则：

• 当 \(x\) 靠近 \(x_0\) 时，可以用前插公式
• 当 \(x\) 靠近 \(x_n\) 时，可以用后插公式

埃尔米特插值

给定 \(n\) 个插值条件，构造 \(n-1\) 次插值多项式。题型一般为给定 \(4\) 个条件 \(H(0)=f(0),H(1)=f(1),H'(0)=f'(0),H'(1)=f'(1)\) 进行插值，要构造三次多项式 \(H(x)=f(0)h_1(x)+f(1)h_2(x)+f'(0)h_3(x)+f'(1)h_4(x)\)，再利用插值条件解出 \(h_i(x)\)。

因为 \(H(0)=f(0)\)，带入构造的多项式有 \(H(0)=f(0)h_1(0)+f(1)h_2(0)+f'(0)h_3(0)+f'(1)h_4(0)\)，不妨令 \(h_1(0)=1,h_2(0)=0,h_3(0)=0,h_4(0)=0\)。对其他三个插值条件如法炮制，得到

\[\begin{split} h_1(0)=1,h_2(0)=0,h_3(0)=0,h_4(0)=0 \\ h_1(1)=0,h_2(1)=1,h_3(1)=0,h_4(1)=0 \\ h_1'(0)=0,h_2'(0)=0,h_3'(0)=1,h_4'(0)=0 \\ h_1'(1)=0,h_2'(1)=0,h_3'(1)=0,h_4'(1)=1 \end{split} \]

纵向看，可以用为 \(0\) 的点设出 \(h_1(x)=(ax+b)(x-1)^2, h_2(x)=x^2(cx+d), h_3(x)=ex(x-1)^2, h_4(x)=fx^2(x-1)\)，代入为 \(1\) 的数据即可解出。

三次样条插值

只考定义，构造插值多项式的 M 方法不考。

定义：

1. \(S(x)\in C^2[a,b]\)
2. \(S(x)\) 在每个小区间上是三次多项式
3. \(S(x_k)=f(x_k)\)（插值法的要求）

第一条是常见命题点，通过比较区间交界点处函数值、一二阶导数值是否相等，计算函数的待定系数。