最短路算法总结

1. Dijkstra 算法

Dijkstra 算法的原理是贪心，执行步骤如下：

1. 令 \(dis_s=0\)，其余为正无穷；
2. 在未被标记过的点中，选择 \(dis\) 最小的点 \(u\)，标记它；
3. 枚举 \(u\) 的出边，更新 \(v\) 的 \(dis\)。

重复步骤 2,3 直到所有点被标记。

在步骤 2 中找到的全局最小值，可以证明不会被再次更新了——其他的点 \(dis\) 已经大于 \(dis_u\)，再加上若干条非负权边（Dijkstra 只能在非负权图上使用），显然无法更新 \(dis_u\)。

找全局最小值可以用堆优化，把时间复杂度降低到 \(O((m+n)\log n\)。代码实现

2. SPFA 算法

SPFA 由 Bellman-Ford 算法优化而来，首先介绍 Bellman-Ford 算法。

Bellman-Ford 算法基于三角形不等式，如果一组 \(dis\) 使得对于所有的边 \((u,v,w)\)，都满足 \(dis_v \le dis_u + w\)，则该组 \(dis\) 就是最短路——反证法，如果不是最短路，则必有一个 \(dis_v \ge dis_u + w\)。只要不断扫描边，进行更新，使得三角形不等式成立，就能得到最短路。时间复杂度 \(O(nm)\)。

SPFA 的计算步骤是：

1. 初始 \(dis_s\) 入队；
2. 取出队头 \(u\)，枚举出边 \((u,v,w)\) 进行更新，如果 \(v\) 不在队中则进队；

重复 2 直到队列为空。SPFA 的时间复杂度是 \(O(km)\)，\(k\) 一般是不大的常数，但可能被卡成 \(O(nm)\)，例如 NOI2018 D1T1 归程。

SPFA 可以处理负权边，Dijkstra 不能处理负权边。代码实现

3. 双端队列 BFS

对于边权只有 0 和 1 的 01 最短路问题，我们可以使用双端队列 BFS \(O(n)\) 地求解。

如果边权全为 1，普通的 BFS 就能够解决问题：每个节点被扩展到的步数就是其最短路。当边权有 0 时，我们不需要“多迈一步”，可以使用双端队列，将其放在队头，当做同一层来处理；边权为 1 的，仍然放到队尾。