[模板]Nim博弈与SG函数
一、Nim游戏
1、引子
Alice与Bob在玩一个取石子的游戏。 在这个游戏有N堆不同的石子，编号1..N，第i堆中有Ai个石子。 每一次行动，Alice和Bob可以选择从一堆石子中取出任意数量的石子。至少取1颗，至多取出这一堆剩下的所有石子。 Alice和Bob轮流行动，取走最后一个石子的人获得胜利。 假设每一轮游戏都是Alice先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都足够聪明，谁会获得胜利？
2、讨论
这是一个古老而又经典的博弈问题：Nim游戏。
Nim游戏是经典的公平组合游戏ICG(Impartial Combinatorial Games)，对于ICG游戏我们有如下定义：
- 两名选手
- 两名选手轮流行动，每一次行动可以在有限合法操作集合中选择一个
- 游戏的任何一种可能的局面(position)，合法操作集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它因素；局面的改变称为“移动”(move)
- 如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手失败
对于第三条，我们有更进一步的定义Position，我们将Position分为两类：
- P-position：在当前的局面下，先手必败 (P=previous，即前一个人走了之后必胜，即必败局面)
- N-position：在当前的局面下，先手必胜 (N=next，即当前选手走了之后必胜，即必胜局面）
它们有如下性质：
- 合法操作集合为空的局面是P-position （终止局面，没法走了，为必败局面）
- 可以移动到P-position的局面是N-position （能让另一个选手到达必败局面，则当前局面是必胜局面）
- 所有移动都只能到N-position的局面是P-position （没法让另一个选手到达必败局面，即无论怎么走对方都必胜，则当前局面为必败局
3、解决
显然，我们从终止局面向前递推，从而得到每个局面是必胜局面还是必败局面
但如果石子很多的话，算法复杂度将过大，这里引入一个重要结论Bouton's Theorem：
对于一个局面，当且仅当A1 xor A2 xor … xor AN =0时，该局面为必败局面，否则为必胜局面。
证明：
设A1 xor A2 xor … xor AN =k
1、若k=0
①如果无合法操作了，即所有石子数量=0，则为必败局面
②如果还能操作，任取一种都将导致异或和变成≠0 （反证：设取第i堆，如果异或和仍为0，那么倒推回去会发现Ai没有变化，即从第i堆取0个，是非法操作）
2、若k≠0
设k的二进制最高位1为第j位，那么我们找到一堆石子Ai，满足Ai的二进制第j位为1，然后Ai->Ai xor k(xor k后，Ai的第j位变成0，又因为高位没变，因此Ai一定变小了，为合法操作)
此时 A1 xor A2 xor … Ai xor k ... xor AN =k xor k =0
综上，如果k=0，要么必败，要么变成k≠0；如果k≠0则一定有一种方案使得k=0
因此根据必胜、必败局面的定义，k=0是必败局面（只能到达必胜局面k≠0）；k≠0是必胜局面（能够到达必败局面即k=0）
二、ICG游戏与SG函数
1、引子
给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，Alice和Bob交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判负。问是否有必胜策略。
2、讨论
事实上，这个游戏可以认为是所有ICG游戏的抽象模型。也就是说，任何一个ICG游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。
下面我们就在有向无环图的顶点上定义SG(Sprague-Garundy)函数。
3、SG函数的建立
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点x的SG函数sg如下：sg(x)=mex{ sg(y) | x->y }。也就是说，一个点的SG函数为在它所有后继的SG函数中都未出现的最小的值。
4、SG函数的性质
（1）SG函数与必胜、必败局面
首先，所有的没有出边的顶点（即终止局面），其SG值为0，因为它的后继集合是空集。
然后对于一个sg(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足 sg(y)≠ 0。（如果有一个sg(y)=0则sg(x)≠0）
对于一个sg(x)≠ 0的顶点，必定存在一个后继y满足sg(y)=0。（如果没有sg(y)=0则sg(x)=0）
这个时候你就应该有所发现了！SG函数的性质和N,P局面的性质非常相似！
即：sg(x)=0说明x是必败局面（下一步必定到达必胜局面），否则x是必胜局面（下一步能到达必败局面）
（2）ICG游戏 +SG函数 ⇒ Nim游戏
根据上一个性质，我们通过倒推计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。
如果将有向图游戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？
让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义：
当sg(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足sg(y)=i。也就是说，当某枚棋子所在的顶点SG值是k时，我们可以走到0,1,...,k-1的顶点（其实也可能到达>k的顶点），但绝对不能保持k不变。
那么可以根据这个联想到Nim游戏，Nim游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。
这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！
对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。
这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。
（3）必败局面 ⇔ sg的异或值为0
刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子（也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^...^sg(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
（那么对于一开始的那个经典Nim问题，从n堆石子A1,A2,...,An中选一个石堆取，可以认为每一堆石子Ai都是一个子游戏Gi，可以发现如果只有一堆石子Ai那么其SG函数为sg(Ai)=Ai，那么n堆石子的总SG函数就是sg(A1) xor sg(A2) xor ... xor sg(An) =A1 xor ... xor An，这和一开始的那个定理是相同的，如果 SG=sg(A1) xor sg(A2) xor ... xor sg(An) =A1 xor ... xor An =0，则当前局面必败）
由于任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！
所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。这种“分而治之”的思想在下一节介绍的“翻硬币游戏”中将被应用得淋漓尽致。还是敬请期待。
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