写代码是一种艺术,甚于蒙娜丽莎的微笑!

不拼搏,枉少年!

  博客园  :: 首页  :: 新随笔  :: 联系 :: 订阅 订阅  :: 管理

鸽巢原理,也称抽屉原理。形象地说明一下:假设有n个鸽笼,有kn+1只鸽子,将所有的鸽子都放入笼子里,那么至少有一个笼子最少装有k+1只鸽子。

常见形式:

1、把多于n+1只鸽子放到n个笼子里,则至少有一个笼子里不少于两只鸽子。

2、把多于m*n只鸽子放到n个笼子里,则至少有一个笼子里有不少于m+1只鸽子。

3、把m*n-1只鸽子放到n个笼子中,其中必须有一个笼子至多有m-1只鸽子。

相关趣味数学题:

1)同一年出生的400人中至少有2个人的生日相同。

2) 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理。

从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:(兔、兔)、(兔、熊猫)、(兔、长颈鹿)、(熊猫、熊猫)、(熊猫、长颈鹿)、(长颈鹿、长颈鹿)。把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据形式1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同。

3) 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。

能构成34的偶数对为(4,30)、(6,28)、(8,26)、(10,24)、(12,22)、(14,20)、(16,18)共7对,这样还剩下一个2无法组队。取9个数,假如取2,剩下的数便从7个偶数对中选取8个,将偶数对看作抽屉,选取的8个数看作物品,类似于形式1。所以任意选9个数,必有两个数之和为34。

4) 从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。

分析与解答 根据题目所要求证的问题,应考虑按照同一抽屉中,任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组,看成10个抽屉(显然,它们具有上述性质):
{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。
从这10个数组的20个数中任取11个数,根据抽屉原理,至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系,所以这两个数中,其中一个数一定是另一个数的倍数。

5)某校校庆,来了n位校友,彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况,在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

共有n位校友,每个人握手的次数最少是0次,即这个人与其他校友都没有握过手;最多有n-1次,即这个人与每位到会校友都握了手.然而,如果有一个校友握手的次数是0次,那么握手次数最多的不能多于n-2次;如果有一个校友握手的次数是n-1次,那么握手次数最少的不能少于1次。不管是前一种状态0、1、2、…、n-2,还是后一种状态1、2、3、…、n-1,握手次数都只有n-1种情况。把这n-1种情况看成n-1个抽屉,到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”,根据抽屉原理,至少有两个人属于同一抽屉,则这两个人握手的次数一样多。

6)15个网球分成数量不同的4堆,数量最多的一堆至少有多少个球?

15可分拆多少种4个互不相同的整数之和,而15=1+2+3+9=1+2+4+8=1+2+5+7=1+3+4+7=1+3+5+6=2+3+4+6,所以最多一堆的球数可能是9、8、7、6,其中至少有6个。

7)证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。

在与整除有关的问题中有这样的性质,如果两个整数a、b,它们除以自然数m的余数相同,那么它们的差a-b是m的倍数。根据这个性质,本题只需证明这8个自然数中有2个自然数,它们除以7的余数相同。我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉。任取8个自然数,根据抽屉原理,必有两个数在同一个抽屉中,也就是它们除以7的余数相同,因此这两个数的差一定是7的倍数。

8)对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。

任何数除以3所得余数只能是0,1,2,不妨分别构造为3个抽屉:【0】、【1】、【2】

若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中(即抽屉中分别为含有余数为0,1,2的数),我们从这三个抽屉中各取1个(如1~5中取3,4,5),其和(3+4+5=12)必能被3整除。

若这5个余数分布在其中的两个抽屉中,则其中必有一个抽屉至少包含有3个余数(抽屉原理),即一个抽屉包含1个余数,另一个包含4个,或者一个包含2个余数另一个抽屉包含3个。从余数多的那个抽屉里选出三个余数,其代数和或为0,或为3,或为6,均为3的倍数,故所对应的3个自然数之和是3的倍数。

若这5个余数分布在其中的一个抽屉中,很显然,从此抽屉中任意取出三个余数,同情况②,余数之和可被3整除,故其对应的3个自然数之和能被3整除。

9)任意给定7个不同的自然数,求证其中必有两个整数,其和或差是10的倍数。

注意到这些数除以10的余数即个位数字,以0,1,…,9为标准制造10个抽屉,标以[0],[1],…,[9]。若有两数落入同一抽屉,其差是10的倍数,只是仅有7个自然数,似不便运用抽屉原则,再作调整:[6],[7],[8],[9]四个抽屉分别与[4],[3],[2],[1]合并,则可保证至少有一个抽屉里有两个数,它们的和或差是10的倍数。

10)正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同。

正方形有6个面 由最多[(m-1)÷n]+1,得出[(6-1)÷2]+1=[2.5]+1=3。

11)有5个小朋友,每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明,这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况,可以有:3黑,2黑1白,1黑2白,3白共4种配组情况,看作4个抽屉.根据抽屉原理,至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里,也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

12)木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色不相同,则最少要取出多少个球?

把3种颜色看作3个抽屉,要符合题意,则小球的数目必须大于7,故至少取出8个小球才能符合要求。

13)一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?

点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张,再取大王、小王各1张,一共15张,这15张牌中,没有两张的点数相同。这样,如果任意再取1张的话,它的点数必为1~13中的一个,于是有2张点数相同。

14)11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同。

若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。

15)有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:一定有两个运动员积分相同。

设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。

16)一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?

根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,但还要加上大小怪,所以当抽取第15张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色。

写代码是一种艺术,甚于蒙娜丽莎的微笑。
posted on 2016-04-07 16:52  RunningSnail  阅读(2372)  评论(3编辑  收藏  举报