2. 数字系统

思考

1. 不同的进制
   1. 10进制: 手指数用来计数
   2. 12进制: 月份
   3. 60进制: 时间
2. 不同的进制只是不同的表现形式, 描述的是同样的概念(数字).
3. 进制表示的是变化的数字(概念)?
4. 2进制是最小的进制?
   1. 没有文字和语言的时候, 假设动物和原始人通过声音来传递信息,通过声音的长短, 声调的高低 来表达不同的信息.这些信息可以用1和0来表示.如果只用1或0来表示,仍然需要空的节拍/音节 来表示声音的断续.仍然可被看作是一种2进制

内容

数字系统

数字系统(数码系统)定义了如何用独特的符号来表示一个数字. 在不同的系统中, 一个数字有不同的表示方法.
如: 法语Cheval和拉丁语equus都可以用来表示中文里的马的概念.

正如像在语言中使用符号(字符)来创建单词, 我们使用符号(数码)来表示数字.
但是符号是有限的, 所以我们会重复组合符号来创建单词, 或重复使用符号来表示数字.

位置化数字系统

在位置化数字系统中, 数字中符号所占据的位置决定了其表示的值.

1. \(S\) 符号集
2. \(b\) 底/基数. 等于\(S\) 符号集里的符号总数
3. \(S_K\) 和\(S_L\) 分别代表整数和小数部分的符号. 也就是说,\(b\) 的幂可以从一个方向由\(0\)到\(K-1\), 还可以从另一个方向由\(-1\)到\(L\)
4. 最大值\(N_{MAX} = b^K - 1\)
5. 整数(没有小数部分的整形数字)
6. 实数(带有小数部分的数字)

10进制decimal

1. 符号集 \(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
2. 底 \(b = 10\)
3. 最大值 如果K=5, \(N_{MAX} = 10^5 - 1 = 99999\)

2进制binary

16进制hexaadecimal

16进制octal

转换

1. 其他进制到10进制的转换
2. 10进制到其他进制的转换
   1. 整数部分: 连除法. 从右往左除b, 余数作为目标数码
   2. 小数部分: 连乘法. 从左往右乘b, 整数部分作为当前位数码, 小数部分右移继续计算. 小数部分为0或达到足够位数时结束.
   3. 数码的数量: \(K=[log_bN]\)后向上取整. 如:
      1. 10进制数字234在10进制下 \(K=[log_{10}234] = 2.37 = 3\), 所以需要三位数码表示
      2. 10进制数字234在2进制下 \(K=[log_{2}234] = 8\). 因为\(234=(11101010)_2\), 所以正确
      3. 10进制数字234在2进制下 \(K=[log_{8}234] = 2.62 = 3\). 因为\(234=(352)_8\), 所以正确
      4. 10进制数字234在2进制下 \(K=[log_{16}234] = 1.96 = 2\). 因为\(234=(EA)_16\), 所以正确

非位置化数字系统

例: 罗马数字系统