数据结构归纳4-图

0，图的一些基本概念

• https://oi-wiki.org/graph/concept/

1，无向图的遍历

• 这里的遍历指的是从任一点出发，依据边的连接关系，直到不能再向下传递为止。
• 无向图与多叉树的区别
  • 树的遍历只有一个根节点，图的遍历则可以从任一点出发（无向图的所有点都可以是根节点，一个有N个顶点的图可以看作N个树组成）。
  • 树的所有节点都是联通的，图的所有节点未必都是联通的。
• BFS：与树相比，需要一个额外的boolean数组visited记录当前点是否统计过。
  • 例题：6106. 统计无向图中无法互相到达点对数
    • 题目：给你一个整数 n ，表示一张 无向图 中有 n 个节点，编号为 0 到 n - 1 。同时给你一个二维整数数组 edges ，其中 edges[i] = [ai, bi] 表示节点 ai 和 bi 之间有一条 无向 边。请你返回 无法互相到达 的不同 点对数目 。
    • 题解：用 bfs 算出图中的所有连通块。根据连通块的定义，设一个连通块有 k 个点，那么这 k 的点无法到达剩下的 (n−k) 个点，则答案增加 k(n - k)。注意题目中的点对是无序的，而上述统计方法认为 (a,b) 和 (b,a) 是不一样的。因此最后答案还要除以 2。
    • 代码：

      import java.util.ArrayList;
      import java.util.LinkedList;
      
      class Solution {
          
          ArrayList<Integer>[] newEdges;
          boolean[] visited;
          int n;
          
          public long countPairs(int _n, int[][] edges) {
              //图数据的初始化
              n = _n;
              visited = new boolean[n];
              newEdges = new ArrayList[n];
              for(int i=0; i<n; i++){
                  newEdges[i] = new ArrayList<>();
              }
              for(int[] edge: edges){
                  newEdges[edge[0]].add(edge[1]);
                  newEdges[edge[1]].add(edge[0]);
              }
              
              //统计结果
              long res = 0;
              for(int i=0; i<n; i++){
                  //依此以每一个顶点为起始遍历图，找到联通块
                  if(!visited[i]){
                      res+=BFS(i);
                  }
              }
              return res/2;
          }
          
          long BFS(int i){
              //广度优先遍历
              LinkedList<Integer> cache = new LinkedList<>();
              cache.add(i);
              visited[i] = true;
              int connectedNode = 1;  //连通块中点的数目
              while(!cache.isEmpty()){
                  int presNode = cache.removeFirst();
                  for(int num: newEdges[presNode]){
                      if(!visited[num]){
                          cache.add(num);
                          visited[num] = true;
                          connectedNode++;
                      }
                  }
              }
              return (long)connectedNode*(long)(n-connectedNode);
          }
      }
      

2，拓扑排序

3，并查集

N-1，可达性统计

• 给定一张 N 个点 M 条边的有向无环图，分别统计从每个点出发能够到达的点的数量。
• https://blog.csdn.net/Easenyang/article/details/124882907

N-2，判断图中是否有环

• 有向图
  • 例题：207.课程表
  • 解法：
    • [帖子1]( https://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3644225.html#:~:text=判断一个图是否有环 1 求出图中所有顶点的度， 2 ,%E5%88%A0%E9%99%A4%E5%9B%BE%E4%B8%AD%E6%89%80%E6%9C%89%E5%BA%A6%26lt%3B%3D1%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%E4%BB%A5%E5%8F%8A%E4%B8%8E%E8%AF%A5%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%9A%84%E8%BE%B9%EF%BC%8C%E6%8A%8A%E4%B8%8E%E8%BF%99%E4%BA%9B%E8%BE%B9%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%BA%A6%E5%87%8F%E4%B8%80%203%20%E5%A6%82%E6%9E%9C%E8%BF%98%E6%9C%89%E5%BA%A6%26lt%3B%3D1%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%E9%87%8D%E5%A4%8D%E6%AD%A5%E9%AA%A42%204%20%E6%9C%80%E5%90%8E%E5%A6%82%E6%9E%9C%E8%BF%98%E5%AD%98%E5%9C%A8%E6%9C%AA%E8%A2%AB%E5%88%A0%E9%99%A4%E7%9A%84%E9%A1%B6%E7%82%B9%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E6%9C%89%E7%8E%AF%EF%BC%9B%E5%90%A6%E5%88%99%E6%B2%A1%E6%9C%89%E7%8E%AF)
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