多边形面积

 

多边形面积

多边形通常分为凸多边形和凹多边形

计算多边形面积有几种好用的算法

其核心思想都是把一个n(n>=3)边形转化为n-2个三角形，然后计算

一：海伦公式

最常见的多边形面积计算公式

 

此公式表达式为：

S= sqrt( p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

其中p为此三角形的半周长，而a,b,c为三角形三边长

若三角形三点为x1,y1,x2,y2,x3,y3,

即p=(a+b+c)/2

a=sqrt((x2-x1)2+(y2-y1)2)

b=sqrt((x3-x2)2+(y3-y2)2)

c=sqrt((x3-x1)2+(y3-y1)2)

 

可能海伦公式就是S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma 的一个变形而已。。。所以觉得意义也是等价的。。。

S = \frac{1}{2} a b \sin\gamma \\ a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2 \\ \cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} S = \frac{1}{2} a b \sqrt{1-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2} \\ = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4}} \\ = \frac{1}{4}\sqrt{(2ab-(a^2+b^2-c^2))(2ab+(a^2+b^2-c^2)} \\ = \frac{1}{4}\sqrt{(c^2-(a-b)^2)((a+b)^2-c^2)} \\ = \frac{1}{4}\sqrt{(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)} \\ if \ \ a+b+c = 2\rho \\ = \frac{1}{4}\sqrt{(2\rho-2a)(2\rho-2b)(2\rho-2c)2\rho} \\ = \sqrt{(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)\rho} \\、

然后，我们再来进一步思考，这个东西和内心的关系：

对三角形的内切圆来说，如前面 白如冰所说会很自然联想到内切圆：

S = \frac{1}{2}(2r\alpha+2r\beta+2r\gamma); \\ \rho = \alpha + \beta + \gamma; \\ S = \frac{1}{2}r(a+b+c) = r\rho \\ r^2\rho^2 = (\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)\rho \\ r^2\rho = (\rho-a)(\rho-b)(\rho-c) \\ r = \sqrt{\frac{(\rho-a)(\rho-b)(\rho-c)}{\rho}} \\


如此，我们发现，内切圆的半径实际上可以被 半周长 和 a，b，c表示了。
缺点：适用于边数很小的情况，一旦边数增多，计算繁琐，损失精度

C++代码：

 1 typedef struct
 2 {
 3     int x;
 4     int y;
 5 }Point;
 6 Point point[N];
 7 int Area(point[a],point[b],point[c])
 8 {
 9     double area;
10     double la,lb,lc;
11     la=sqrt((point[b].x-point[a].x)*(point[b].y-point[a].y));
12     lb=sqrt((point[c].x-point[b].x)*(point[c].y-point[b].y));
13     lb=sqrt((point[c].x-point[a].x)*(point[c].y-point[a].y));
14     p=(la+lb+lc)/2;
15     area=sqrt(p*(p-la)*(p-lb)*(p-lc));
16     return area;
17 }

 

二：向量计算法

此方法可查看此资料：

https://files.cnblogs.com/files/tenjl-exv/%E5%A4%9A%E8%BE%B9%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF.ppt

有关资料证明：

我们都知道已知A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)三点的面积公式为

                   |x1 x2 x3|
S(A,B,C) =  |y1 y2 y3| * 0.5 = [(x1-x3)*(y2-y3) - (x2-x3)*(y1-y3)] /2
                   |1    1  1 |

(当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的)

对于多边形A1A2A3、、、An(顺或逆时针都可以)

设平面上有任意的一点P，则有：

S(A1,A2,A3，、、、,An) = abs(S(P,A1,A2) + S(P,A2,A3)+、、、+S(P,An,A1))

P可以任意取点

如果P取多边形外一点，且取(0，0)时

设点顺序 (x1 y1) (x2 y2) ... (xn yn)，则面积等于

             |x1 y1|    |x2 y2|              |xn yn|
S= abs( |        | + |        | + ...... + |         | ) /2
             |x2 y2|    |x3 y3|              |x1 y1|
 
其中

|x1 y1| 
|         | ===  x1*y2 - y1*x2
|x2 y2| 

 

因此面积公式展开为:

             |x1 y1|     |x2 y2|              |xn yn|
S=abs(  |        | +  |        | + ...... +  |        | )  = abs(x1*y2-y1*x2+x2*y3-y2*x3+...+xn*y1-yn*x1) /2
             |x2 y2|     |x3 y3|              |x1 y1|

C++代码如下：

int x[100];
int y[100];

double Area(int *x,int *y,int n)
{
    double s=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    int j=(i+1)%n;
        s+=x[i]*y[j];
        s-=x[j]*y[i];
    }
    s/=2;
    return (s>0?s:-s);
}

  //  area=Area(x,y,n);
  //  n为点的个数

 

posted @ 2017-12-09 15:33  T丶jl  阅读(811)  评论(0)  编辑  收藏  举报