《数字信号处理》学习笔记

01 信号的时域分析

量化信号->模拟信号->抽样信号->数字信号->量化信号

  • 时域：以时间为自变量描述信号和系统

  • 频域：以频率为自变量描述信号和系统。如果不以频率为基本单位，也称为“变换域”

时域和频域之间的转化：傅里叶变换

滤波器：一种信号处理系统，实现按照一定目的对信号的变换

  • 波段： 超长波-长波-中波-短波-超短波-分米波-厘米波-毫米波
  • 频段：甚低频-低频-中频-高频-甚高频-特高频-超高频-极高频

课程内容：信号及其变换，系统及其分析

信号的基波周期T/N（fundamental period）

信号之和的周期性判断

离散信号可视为连续（包络线）信号和周期脉冲的乘积

信号的能量和功率的计算

疑问：为什么是\(W=\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^T\lvert x(t)\rvert^2\mathrm{d}t\)而不是\(W=\int_{-\infty}^{\infty}\lvert x(t)\rvert^2\mathrm{d}t\)？猜想：为了和功率的公式形式统一？

能量信号与功率信号

周期信号一定是功率信号

疑问：零信号呢？可能不考虑吧，毕竟无讨论价值。

因果信号：负时间点信号零值，正时间点信号非零值。

信号的尺度变换、时移、加和乘

基本连续信号：直流信号、正弦信号、实指数信号、虚指数信号【第一次接触到复信号！】、复指数信号、抽样信号

  • 抽样信号

\[Sa(t)=\frac{\sin t}{t} \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}Sa(t)dt=\pi \]

  • 离散虚指数序列

\[x[n]=e^{j\omega_0n} \]

\[周期为\frac{2k\pi}{\omega_0},k\in N \]

（比如说\(\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2}{3}\)，那么周期为2）

  • 单位脉冲序列 \(\delta[n]\)
    使用单位脉冲可以表示任意离散时间信号（阶跃序列、矩形序列、斜变序列）

  • 单位阶跃序列 \(u[n]\)
    单位阶跃序列和单位脉冲序列的相互表示很重要！

\[u[n]=\sum_{k=0}^\infty\delta[n-k] \]

\[\delta[n]=u[n]-u[n-1] \]

n阶前向/后向查分

奇异信号

冲激信号

\[\begin{align} \delta(t)=0,t\neq0\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1 \end{align} \]

是一种广义函数！【关于广义函数：https://www.zhihu.com/question/35012904 】
不同的冲激信号仅有强度的差别。

  • 抽样/筛选特性

\[x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0) \]

只需证明左式作为冲激信号的强度是\(x(t_0)\)
由该特性可知，信号\(x(t)\)可以分解为冲激信号之和

\[\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(\tau-t)\mathrm{d}\tau=x(t) \]

\[x[n]=\sum_{k=-\infty}^\infty x[k]\delta[n-k] \]

  • 展缩特性

\[\delta(\alpha t)=\frac1{|\alpha|}\delta(t),(\alpha\neq0) \]

信号的积分和微分

用范数表示信号的强度、能量、峰值

信号的内积

信号的正交

正交函数集

完备函数集与帕塞瓦尔定理

信号的分解

  • 直流与交流

\[x(t)=x_{\mathrm{DC}}(t)+x_{\mathrm{AC}}(t) \]

其中，$$x_{\mathrm{DC}}(t)=\frac1{b-a}\int_a^bx(t)\mathrm{d}t$$

  • 奇分量与偶分量

\[\begin{align} x_\mathrm{e}(t)=\frac12[x(t)+x(-t)]\\ x_\mathrm{o}(t)=\frac12[x(t)-x(-t)] \end{align}\]

什么高一数学

  • 实部分量与虚部分量

\[\begin{align} x_\mathrm{r}(t)=\frac12[x(t)+x^*(t)]\\ x_\mathrm{i}(t)=\frac1{2\mathrm{j}}[x(t)-x^*(t)] \end{align}\]

什么高二数学

冲激偶信号

\[\begin{align} &\delta^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}\delta(t)}{\mathrm{d}t}\\ &\int_{-\infty}^\infty\delta^{\prime}(t)\mathrm{d}t=0\\ &x(t)\delta^{\prime}(t-t_0)=x(t_0)\delta^{\prime}(t-t_0)-x^{\prime}(t_0)\delta(t-t_0)\\ &\int_{-\infty}^\infty x(t)\delta^{\prime}(t-t_0)\mathrm{d}t=-x^{\prime}(t_0)\\ &\delta^{\prime}(\alpha t)=\frac1{\alpha|\alpha|}\delta^{\prime}(t)\quad(\alpha\neq0)\\ &\delta^{\prime}(at+b)=\frac1{a|a|}\delta^{\prime}\left(t+\frac ba\right)\\ &x(t)*\delta^{^{\prime}}(t-t_0)=x^{^{\prime}}(t-t_0)\\ \end{align}\]

这些性质的证明还挺有意思的。

狄拉克delta是我们最熟悉的不是function的distribution。

在处理狄拉克δ函数（Dirac delta function）时，我们使用的是广义函数或分布理论。广义函数的相等准则是基于它们对测试函数的作用效果是否相同。也就是说，如果两个广义函数与任意一个测试函数f(t)进行积分后的结果总是相同的，那么这两个广义函数就被认为是相等的。

02 系统的时域分析（一）

系统
线性系统
时不变系统
卷积
卷积特性
用卷积分析因果系统
用卷积分析稳定系统

03 系统的时域分析（二）

如果组成系统的原件都是参数恒定的线性元件，则相应的数学模型是一个线性常系数常微分方程。

若此时系统中各元件起始无储能，则构成一个线性时不变系统。

Moving Average模型：于𝑛时刻的输出仅仅和𝑛之前时刻的输入相关
例如\(y[n]=x[n]+b_{k}x[n-k]\)

Auto Regressive模型：于𝑛时刻的输出仅仅和𝑛之前时刻的输出相关
例如\(y[n]=y[n-1]+a_{i}y[n-2]+x[n]\)

一个线性时不变（LTI）系统可以用常系数微分方程或常系数差分方程描述。
但一个常系数微分方程或差分方程描述的系统不一定是线性时不变系统。

微分方程的求解
求齐次解
求特解

一些定理
若常系数微分方程的边界条件为初始松弛条件，则系统为因果、线性、时不变系统
因果系统当且仅当冲激响应是因果信号
例子\(y_n=y_{n-1}+x_{n+1}\)

自由响应与强迫相应
\(y(t)=y_h(t)+y_p(t)\)
其中\(y_h(t)\)是齐次解，称为自由响应，反应系统本身的特性。形式和激励无关，但系数和激励有关。
\(y_p(t)\)是特解，称为强迫响应，和激励有关。

响应t=0处的跳变

零输入响应和零状态响应
\(y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t)\)

卷积法
\(y_{zs}(t)=x(t)\ast h(t)\)

04 信号的傅里叶级数

信号分解

三角函数在区间\((t_0,t_0+T)\)上的完备正交集
\(\{cosn\omega t, sinn\omega t\},n=0,1,...\)

\(||sinn\omega t||_2^2=\frac{T}{2}\)

\(\omega\)是圆频率，和物理中的频率不同。

复指数函数在区间\((t_0,t_0+T)\)上的完备正交集
\(\{e^{jn\omega t}\}, n=0,\pm 1,...\)
\(||e^{jn\omega t}||_2^2=T\)

基于三角函数族、指数函数族的分解

\[x(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\omega t+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\omega t=c_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\cos(n\omega t+\varphi_{n}) \]

正弦、余弦分量的频率为基频的整数倍

\[\chi(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}X_{n}\:e^{jn\omega t} \]

【博客】从线性代数的角度理解

此处注意指数函数分解系数和三角函数分解系数之间有一个关系
\(X_n=\frac{1}{2}a_n-\frac{j}{2}b_n\)

周期信号的傅里叶级数收敛条件

  • 能量条件：一个周期内的能量有限
    $\int_{-T/2}^{T/2}\lvert x(t)\rvert^2\mathrm{d}t<\infty $

能量有限不代表重构的信号和\(x(t)\)在每一个\(t\)值上都相等，只说明二者在能量上没有差异。这就是为什么有时我们会说“傅里叶级数的收敛是按能量收敛的”，而不是按逐点收敛的。

  • Dirichlet条件（波形条件）
    狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
  1. 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
  2. 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
  3. 在一周期内，信号是绝对可积的。
    三点同时满足，则傅里叶级数一定收敛。
    在𝑥(𝑡)不连续点处，傅里叶级数重构信号收敛于不连续点两边的平均值

帕塞瓦尔定理

时域和频域能量/功率守恒定理

\[\begin{align*} P &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt \\ &= a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) \\ &= c_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty c_n^2 \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty |X_n|^2 \end{align*}\]

任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流分量、基波以及各次谐波的平均功率之和。

【？】\(|X_n|^2\)随\(n\omega\)分布情况称为周期信号的功率谱，简称功率谱。

傅里叶级数的对称特性

  • 偶信号
  • 奇信号
  • 奇谐（半波镜像）信号
    \(x(t)=-x(t\pm\frac T2)\)，只有奇次谐波分量
  • 偶谐（半波重叠）信号
    \(x(t)=x(t\pm\frac T2)\)，只有偶次谐波分量

吉布斯（Gibbs）现象

频谱 谱线间隔 带宽

在周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式计算中
\(n\omega>\frac{2\pi}\tau\)时出现了\(X_n\)为负值的情况！
那么\(\omega_B=\frac{2\pi}\tau\)就是有效带宽

在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。

系统函数

\[\begin{align*} e^{j\omega t} * h(t) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega (t-\tau)} h(\tau) d\tau\\ &= e^{j\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega \tau} h(\tau) d\tau \\ &= e^{j\omega t} H(j\omega)\end{align*}\]

针对一般复数𝑠，𝐻(𝑠)为系统函数；
若为纯虚数，则\(𝐻(𝑗\omega)\) 为频率响应

可直接用于信号经过系统后的傅里叶展开式

05 信号的傅里叶变换

从傅里叶级数到傅里叶变换

傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，在频域是一个非周期且离散的函数。傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。

\[\begin{align*} x(t) &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{j\omega_n t}\\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{j\omega_n t}\Delta\omega\frac T{2\pi}\\ &= \frac{1}{2\pi}\int cTe^{j\omega t}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int (\int x(t) e^{-j\omega t} dt)e^{j\omega t}d\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega \end{align*} \]

非周期信号被分解为无数个频率为 \(\omega\)、复振幅为\(\frac{X(j\omega)}{2\pi} d\omega\)的虚指数信号$ e^{j\omega t}$ 的线性组合。

\(X(j\omega)\)一般是复函数：
\(X(j\omega) = |X(j\omega)| e^{j\varphi(\omega)}\)

  • \(|X(j\omega)|\)关于\(\omega\)的函数曲线为幅度频谱
  • \(e^{j\varphi(\omega)}\)关于\(\omega\)曲线为相位频谱

收敛条件可类比傅里叶级数的收敛条件

周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的连续频谱等间隔抽样求得

傅里叶变换

  • 单边指数信号
  • 双边指数信号
  • 单位冲激信号
    \(F(\delta(t))=1\)，频谱叫均匀谱/白色谱
  • 直流信号
    \(x(t)=1\Rightarrow F(x(t))=2\pi\delta(t)\)

逆变换的方法这是显然的。直流信号不满足绝对可积条件，可用极限的方法求出傅里叶变换。

  • 符号函数

同样不满足绝对可积条件，可用极限的方法求出傅里叶变换。

\[\mathcal{F}[\mathrm{sgn}(t)]=\lim_{\sigma\to0}\{\mathcal{F}[\mathrm{sgn}(t)\mathrm{e}^{-\sigma|t|}]\}=\frac2{\mathrm{j}\omega} \]

  • 单位阶跃信号

\[\mathcal{F}[u(t)]=\pi\delta(\omega)+\frac1{\mathrm{j}\omega} \]

傅里叶变换的性质

  • 线性特性
  • 对称性

\[X(t) \stackrel{\mathcal{F}}\leftrightarrow 2\pi x(-j\omega) \]

若\(x(t)\)为偶函数，则\(X(t) \stackrel{\mathcal{F}}\leftrightarrow 2\pi x(j\omega).\)

  • 奇偶虚实性
    若\(x(t)\)实函数，则有：实偶虚奇、幅偶相奇
  • 尺度变换特性

\[x(at)\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}\frac1{|a|}X(j\omega/a) \]

  • 时移特性

\[x(t-t_0)\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}X(j\omega)e^{-j\omega t_0} \]

信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。

  • 频移特性（调制定理）

\[x(t)e^{j\omega_0t}\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}X\Big(j(\omega-\omega_0)\Big); x(t)e^{-j\omega_0t}\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}X\Big(j(\omega+\omega_0)\Big) \]

  • 时域积分微分特性

\[\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}\frac{X(j\omega)}{j\omega}+\pi X(0)\delta(\omega) \]

\[\frac{\mathrm{d}^nx(\mathrm{t})}{\mathrm{d}t^n}\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}(j\omega)^n\cdot X(j\omega) \]

  • 频域微分特性

\[t^nx(t)\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}j^n\frac{\mathrm{d}X^n(j\omega)}{\mathrm{d}\omega^n} \]

  • 时域卷积特性

\[x_1(t)*x_2(t)\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}X_1(j\omega)X_2(j\omega) \]

  • 频域卷积特性（调制特性）

\[x_1(t)\cdot x_2(t)\overset{\mathcal{F}}{\operatorname*{\leftrightarrow}}\frac1{2\pi}[X_1(j\omega)*X_2(j\omega)] \]

周期信号的傅里叶变换

  • 余弦信号的傅里叶变换：\(\mathcal{F}\{\cos(\omega_0 t)\} = \pi \left( \delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0) \right)\)
  • 正弦信号的傅里叶变换：\(\mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\} = j \pi \left( \delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0) \right)\)
  • 一般周期信号的傅里叶变换

06 信号的采样

信号时域采样后序列的傅里叶变换

  • 若采样信号为周期脉冲信号：$$\delta_{T_s}(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)$$
    利用周期信号的傅里叶变换公式，有：

\[\mathcal{F}\big[\delta_{T_s}(t)\big]=2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty X_n\delta(\omega-n\omega_s)=\omega_s\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_s)\text【X_n是单周期信号的傅里叶级数的系数\text】 \]

而\(x_s(t)=x(t)\cdot\delta_{T_s}(t)\)，因此利用频域卷积特性（调制特性）就有：

\[\begin{aligned}\mathcal{F}[x_{s}(t)]&=\frac{1}{2\pi}\Big[X(j\omega)*\mathcal{F}\Big[\delta_{T_{s}}(t)\Big]\Big]=\frac{1}{2\pi}\Bigg[X(j\omega)*\omega_{s}\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{s})\Bigg]\\&=\frac1{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty X(j(\omega-n\omega_s))\end{aligned} \]

时域对信号做离散化，频域表现为原始时域信号频谱的周期延拓（重复），时域的离散化导致了频域的周期性

  • 若采样信号为周期矩形信号：

\[\mathcal{F}[x_s(t)]=\sum_{n=-\infty}^\infty P_nX(j(\omega-n\omega_s)) \]

其中，

\[P_n=\frac1{T_s}\int_{-T_s/2}^{T_s/2}p(t)e^{-jn\omega_st}\mathrm{d}t=\frac{E\tau}{T_s}Sa\left(\frac{n\omega_s\tau}2\right) \]

信号频域采样后序列的傅里叶逆变换

  • 若采样信号为周期脉冲信号：$$\delta_{\omega_s}(\omega)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_s)$$
    利用傅里叶逆变换，有：

\[\mathcal{F}^{-1}\Big[\delta_{\omega_s}(\omega)\Big]=\frac{1}{\omega_s}\delta_{T_s}(t) \]

而\(X_S(j\omega)=X(j\omega)\cdot\delta_{\omega_S}(\omega)\)，因此利用时域卷积特性就有：

\[x_S(t)=x(t)*\mathcal{F}^{-1}[\delta_{\omega_S}(\omega)]=x(t)*\left[\frac1{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)\right]=\frac1{\omega_s}\sum_{n=-\infty}^\infty x(t-nT_s) \]

频域的离散化对应时域信号的周期延拓

时域采样定理

当然，下面是整理后的采样定理格式：

若连续信号\(x(t)\)是一个频带受限信号（即当\(\omega > \omega_m\)时，\(X(\omega) = 0\)，其中\(\omega_m = 2\pi f_m\)），则信号$ x(t) $ 的等间隔样本值\(x_s(t)\)，要能唯一表示\(x(t)\)，其条件为：
\(T_s < \frac{1}{2f_m}\)即\(\omega_s > 2\omega_m\)

其中，\(f_s = 2f_m\)为最小采样频率，称为 Nyquist Rate。

一对简单的结论：信号在时域相乘，相当于是在频域卷积
所以x1(t)的最高频率是f1,x2(t)的最高频率是f2,这两个信号相乘后的最高频率为两个信号频率之和f1+f2。
信号在时域卷积，相当于是在频域相乘
所以x1(t)的最高频率是f1,x2(t)的最高频率是f2,这两个信号卷积后的最高频率为两个信号频率中的最小频率，即 min(f1,f2)。

欠采样问题

07 调制、解调和滤波

高频率信号可在大气层中传播到较远距离，在大气层中传输音频，需要将低频信号“加载”或“嵌入”到一个高频信号上，再通过天线向空间辐射。天线长度与辐射电波波长数量级一致（1/4波长以上）时才能有较好的辐射特性。

调制：将低频信号“加载”或“嵌入”到一个高频振荡信号上

解调：从含有低频信号的高频振荡信号中提取低频信号

待发送的信号𝑥(𝑡)为调制信号，用于完成载送信号任务的高频振荡信号𝑐(𝑡)为载波信号，调制后的高频信号称为已调波。

正弦载波调幅
\(c(t)=cos(\omega_ct)\)
调制后，原始频谱幅度减半，左右移动，若\(𝜔_𝑐>𝜔_𝑚\)，则两部分频谱不会发生重叠

复指数载波调制

单边带调幅

同步解调

什么计算小技巧

收发端相位不等遇到的问题

信道复用：频分复用

信道复用：时分复用

08 离散信号的傅里叶变换（DTFT）

DTFT
离散一般信号的傅里叶变换
计算、性质和连续信号的傅里叶变换基本一致（对t积分变对n求和）

DFS
离散一般信号的傅里叶级数

DFT

似乎和DFS更接近啊。。。

FFT
妙

08-2 数字图像的傅里叶分析方法

二维傅里叶变换

二维离散傅里叶变换的基本性质

其他

\(\delta(t)\)和\(\delta[n]\)辨析

总复习

题型：
选择 10个2分
填空 5个2分
判断 5个2分
简答 2个5分
计算 5个10分

01 信号的时域分析

  1. 信号的能量和功率的计算公式 别忘了是\(2N+1\)

  2. 能量信号与功率信号、因果信号

  3. 信号之和的周期性判断

  4. 信号的尺度变换

  5. 复指数信号

  6. 抽样信号及其性质

  7. 虚指数序列关于时间的周期性

  8. 冲激信号的定义、筛选性质、展缩性质

  9. 基于冲激信号进行信号分解

  10. 正交函数集、信号投影与分解、完备函数集、帕塞瓦尔定理（？）

  11. 冲击偶信号的定义和性质（筛选、抽样、展缩、卷积）

02 系统的时域分析（一）

  1. 通过方框图写出系统方程（没提到？不知道考不考）

  2. 系统的记忆性、可逆性、因果性、稳定性、线性、时不变性

  3. 系统的单位脉冲响应

  4. 卷积计算和特性要记住！很重要！
    位移、展缩、微分、积分、等效（微分的扩展）

  5. 利用卷积特性简化卷积运算（感觉是值得一学的小技巧）

  6. LTI系统因果的充要条件

  7. LTI系统稳定的充要条件

03 系统的时域分析（二）

  1. 微分方程求解相关

  2. 注意卷积法求零状态响应有讲到

（别的已经在走进天文课上思考计算过很多了。。。

04 信号的傅里叶级数

  1. 基于三角函数族、指数函数族的分解

  2. 收敛条件有讲到！第一收敛条件、第二收敛条件（？）
    Dirichlet条件（波形条件）
    狄利克雷条件是一个信号存在傅里叶变换的充分不必要条件。
    1） 在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
    2） 在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
    3）在一周期内，信号是绝对可积的。
    三点同时满足，则傅里叶级数一定收敛。
    在\(x(t)\)不连续点处，傅里叶级数重构信号收敛于不连续点两边的平均值

  3. 帕塞瓦尔定理，也即时域和频域能量/功率守恒定理

\[\begin{align*} P &= \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 dt \\ &= a_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty (a_n^2 + b_n^2) \\ &= c_0^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty c_n^2 \\ &= \sum_{n=-\infty}^\infty |X_n|^2 \end{align*}\]

任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流分量、基波以及各次谐波的平均功率之和。

【？】\(|X_n|^2\)随\(n\omega\)分布情况称为周期信号的功率谱，简称功率谱。
帕塞瓦尔定理有讲到

  1. 傅里叶级数的对称特性（感觉还挺重要）
  • 偶信号只有直流项、余弦项
  • 奇信号只有正弦项
  • 奇谐（半波镜像）信号
    \(x(t)=-x(t\pm\frac T2)\)，只有奇次谐波分量
  • 偶谐（半波重叠）信号
    \(x(t)=x(t\pm\frac T2)\)，只有偶次谐波分量
  1. 描述一下吉布斯（Gibbs）现象及其原因

用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，随𝑁增大而趋于一个常数，约等于总跳变值的9%.

吉布斯现象产生原因：
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。

  1. 频谱 谱线间隔 带宽

连续周期傅里叶级数频谱的自变量就是\(n\omega\)
在周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式计算中
（我靠这个好像有可能会考啊）

\(n\omega>\frac{2\pi}\tau\)时出现了\(X_n\)为负值的情况！
那么\(\omega_B=\frac{2\pi}\tau\)就是有效带宽

在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。

  1. 系统函数没提（我就当不考了）

05 信号的傅里叶变换

  1. 变换和逆变换的公式

  2. 提到了相位谱和幅度谱的求解

  3. 又提到了收敛条件

  4. 计算技巧、常见变换、各种性质
    常见变换注意指数函数的FT、单位冲激信号的FT
    就是不知道涉及极限的FT考不考（直流、符号、阶跃）
    性质包括：

  • 线性
  • 对称性 记住直流->冲激->直流的例子就行！
  • 奇偶虚实性 针对实函数的FT！
  • 尺度变换 这里还要记住一个\(X(0)\)是时域面积、\(2\pi x(0)\)是频域面积
  • 时移特性
  • 频移特性
  • 时域微分、积分特性
  • 频域微分
  • 时域卷积
  • 频域卷积

  1. 非周期信号的能量谱密度讲到了！能量守恒的应用

  2. 周期信号傅里叶变换当然很重要~推导要会，这和下一章节信号的采样相关

  3. 周期信号傅里叶级数与一个周期傅里叶变换的关系是，前者是后者在\(n\omega_0\)处取值后乘以\(1/T_0\)

06 信号的采样

  1. 时域采样

  2. 频域采样

  3. 时域采样定理
    感觉最小采样频率肯定会考

  4. 欠采样
    赌它不会考。。

07 调制、解调和滤波

  1. 过程叙述

将低频信号“加载”或“嵌入”到一个高频信号上（调制），再通过天线向空间辐射。【天线长度与辐射电波波长数量级一致（1/4波长以上）】，再从含有低频信号的高频振荡信号中提取低频信号（解调）

𝑥(𝑡)为调制信号，𝑐(𝑡)为载波信号，调制后的高频信号称为已调波。

  1. 正弦载波调幅
    \(c(t)=cos(\omega_ct)\)
    调制后，原始频谱幅度减半，左右移动，若\(𝜔_𝑐>𝜔_𝑚\)，则两部分频谱不会发生重叠

  2. 复指数载波调制

  3. 单边带调幅

  4. 同步解调
    计算小技巧

5.收发端相位不等遇到的问题

  1. 信道复用：频分复用

  2. 信道复用：时分复用

08 离散信号的傅里叶变换

  1. DTFT公式、性质（时移、频移）

  2. DFS

  3. DFT

  4. FFT

08-2 数字图像的傅里叶分析方法

二维离散傅里叶变换

09 拉普拉斯变换及其应用

10 Z变换

posted @ 2024-09-11 23:40  藤君  阅读(93)  评论(0)    收藏  举报