计算方法期末冲刺大纲

误差-插值-拟合-微积分-ODE-解方程

复习思路：慢慢来，把课本完完全全吃透，包括所有习题。

绪论

大纲

数值分析研究的对象与特点
误差来源与误差分析的重要性：
模型误差、截断误差/方法误差。
误差的基本概念：
绝对误差：近似-准确
误差限
相对误差
有效数字
近似值运算后误差限
数值计算中误差分析的方法与原则：
防止大数除小数
防止近似数相减
减少运算次数

插值法

大纲

拉格朗日插值：
插值基函数
插值余项与截断误差限的估计
逐次线性插值：
掌握算法
差商与Newton插值公式：差商的公式和重要性质要记住，牛顿插值的插值余项与截断误差限的估计（更具有一般性）
差分与等距节点插值公式：
差分的性质（尤其是与差商的关系），实质上是特殊情况的Newton插值
Hermite插值：
n+1个点确定不超过n次，再加上每个点的导数值可以确定不超过2n+1次
分段低次插值：
Runge现象，点取得很密，但插值多项式并不收敛至原函数，而分段线性插值就是一节节地连线段。分段三次Hermite插值就是加上导数条件。
三次样条插值：
为了比较平滑，希望三次多项式拼接且二阶导连续。三对角方程、三弯矩方程。关于收敛性。

习题

第一问是显然的，高次多项式去插值低次多项式嘛。怎么证明呢？余项公式是0，真是个好办法。

第二问有点意思，二项式展开，交换求和顺序，然后就顺理成章了。

又是个非常显然的结论。数学归纳法即可。（话说这真的和计算方法有关系么）

我日！老熟人阿贝尔求和

关键就是看出来这是差商的通项！！！还要知道差商的性质（和导数的关系）

求插值余项公式的能力。其实是有套路的。设、构、罗三步走。

分段低次插值的一致收敛性证明，也是套路。

第一问直接完全平方，显然。
第二问。。。

函数逼近与计算

大纲

最佳一致逼近多项式：给定最高次数。切比雪夫定理，求解最佳一次（一致）逼近多项式
最佳平方逼近：最终归结为解一个线性方程组的问题
正交多项式：会很方便计算
函数按正交多项式展开：
函数拟合的最小二乘法：
傅里叶变换：

习题

数值积分与数值微分

Newton-Cotes公式
Romberg算法
Gauss公式
数值微分

常微分方程数值解法

方程求根

解线性方程组的直接方法

Gauss消去法
Gauss主元素消去法
Gauss消去法的变形
向量和矩阵的范数
误差分析

解线性方程组的迭代法

Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法：ez。
迭代法的收敛性：一大堆定理。。。迭代法基本定理，收敛速度衡量，收敛的判断方法，对角占优矩阵相关性质，可约矩阵相关性质，对角占优定理。
解线性方程组的超松弛迭代法：