概率论期末复习大纲

临阵磨枪，不快也光

1. 极大似然函数有可能单调。勿盲目求导。比如均匀分布两端点的参数估计。

2. 有的极大似然函数形式比较特殊。要注意构造。比如伯努利分布p的参数估计。

3. 有偏样本方差是方差的极大似然估计（怪），有偏样本标准差是标准差的极大似然估计（极大似然估计的特性）

4. 
   充分条件：

5. 卡方检验和独立性检验
   

6. 矩估计可能不存在，可能不唯一。无偏估计不一定合理。最大似然估计也可能不唯一。

7. 置信下限就是小的那个，置信上限是大的那个。

基于成对数据的检验

第五章 多维随机变量

多维随机变量函数的分布：
离散的：

1. \(若X\sim B(n_1,p), Y\sim B(n_2,p),且X和Y相互独立，则X+Y\sim B(n_1+n_2,p)\)

2. \(若X\sim P(\lambda_1)和Y\sim P(\lambda_2)相互独立，则X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)

连续的：

1. 相互独立的两个服从标准正态分布的随机变量的平方和e(1/2)、根号下平方和瑞利分布、相除柯西分布
2. 乘除加减的分布
3. 最大最小值的分布
4. 求联合分布
5. 多维正态分布的一些结论

第六章 数字特征

\(\operatorname{Cov}(X,Y)=E\left[(X-E(X))(Y-E(Y))\right]=E(XY)-E(X)E(Y)\)
\(\operatorname{Var}(X\pm Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)\pm2\operatorname{Cov}(X,Y)\)
\(\operatorname{Cov}(X_1+X_2,Y)=\operatorname{Cov}(X_1,Y)+\operatorname{Cov}(X_2,Y)\)
\((X,Y)\sim\mathcal{N}(\mu_{x},\mu_{y},\sigma_{x}^{2},\sigma_{y}^{2},\rho),\text{则有 Cov}(X,Y)=\rho\sigma_{x}\sigma_{y}\)
\(\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y)}}\)

第八章 大数定律及中心极限定理

大数定律

\(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\frac1n\sum_{i=1}^nE[X_i]\)
马尔可夫条件：\(\frac1{n^2}\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\to 0\quad n\to\infty\)
辛钦条件：\(\begin{aligned}X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\end{aligned}\)独立同分布，且\(E[X_i]\)都存在。
伯努利大数定律：\(\begin{aligned}X_n/n&\xrightarrow{P}p\end{aligned}\)

中心极限定理

林德贝格勒维：\(\begin{aligned}X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots\end{aligned}\)独立同分布，则\(Y_n=\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to}\mathcal{N}(0,1)\)
棣莫佛拉普拉斯：\(X_n\sim B(n,p)\)则\(Y_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}\mathcal{N}(0,1)\)

第九章 统计的基本概念

样本统计量
Beta分布，Gamma分布，Dirichlet分布
Gamma分布的可加性：\(X\sim\Gamma(\alpha_1,\lambda), Y\sim\Gamma(\alpha_2,\lambda)\)且\(X,Y\)相互独立则\(X+Y\sim\Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)\)
卡方分布，t分布，F分布
【\(E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n\)】
\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\sim\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),\quad\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)\)
\(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)\)
\(\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)

分数位点
F分布的分数位点特殊性质

第十章 参数估计

点估计

矩估计法
最大似然估计法
最大似然估计不可变性

评价标准

无偏性
有效性
\(\mathrm{Var}_0(\theta)=\frac1{nE\left[\left(\frac{\partial\ln f(X;\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]}\quad\text{或}\quad\mathrm{Var}_0(\theta)=\frac1{nE\left[\left(\frac{\partial\ln F(X;\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]}\)

一致性\(\lim\limits_{n\to0}\Pr[|\hat{\theta}_n-\theta|>\epsilon]=0\)
充分条件\(\lim\limits_{n\to\infty}E\left[\hat{\theta}_n\right]=\theta\quad\text{和}\quad\lim\limits_{n\to\infty}\text{Var}\left(\hat{\theta}_n\right)=0\)

区间估计

置信度是\(1-\alpha\)
枢轴变量法

1. 正态总体 方差已知 求期望的区间估计

2. 正态总体 方差未知 求期望的区间估计

3. 正态总体 求方差的区间估计

4. 双正态总体 求期望差（已知方差，或者未知方差但方差相等）、方差比的区间估计
   \(W=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)}{S_W\sqrt{\frac1n+\frac1m}}\sim t(n+m-2)\)
   \(W=\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1,m-1)\)

F分布求区间时要注意\(b=F_{\frac\alpha2}(n-1,m-1),\quad a=F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)\)

5. 非正态分布，集中不等式法/中心极限定理法

好题

评：点估计，两个参数，不同方法。

第十一章 假设检验

已知分布，期望检验

期望检验
方差已知的： Z检验
方差未知的： t检验

期望差检验
方差已知的：\(H_{0}:\mu_{1}-\mu_{2}=\delta\)
\(U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\delta}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}\sim\mathcal{N}(0,1)\)
方差未知但相等的：略

成对比较期望是否相同

已知分布，方差检验

单个正态总体的：卡方检验
两个正态总体的：略

未知分布

卡方检验
\(W=\sum_{i=1}^k\frac{(n_i-np_i)^2}{np_i}\sim\chi^2(k-1)\)

好题