二分查找

二分查找

二分查找可根据不同的区间划分分为三种，每种区间都有其特定的边界划分，而二分查找最重要的就是边界划分

三种不同划分区间的二分查找（mid下取整，偶数个时取左边为mid）

[l,r]闭区间

#判断条件，终止时：l=r+1,而边界就在（r,r+1)之间（是l,r中间），如右侧为满足条件，则[r+1:]均满足条件
while(l<=r):
  #l,r取值，取值时是不符合条件的一侧；确定不符合条件，排除搜索集合外
  #（以搜索目标target为例易理解，但是如果是第一个>x的值这种，右侧的开区间取值是可能成为答案值的，主要在返回的时候处理，根据边界取答案）
  l=mid+1
  r=mid-1

[l,r) 左闭右开

#判断条件，终止时：l=r,而边界就在l左侧之间，如右侧为满足条件，则[l:]均满足条件
while(l<r):
  #l,r取值，取值时是不符合条件的一侧；确定不符合条件，排除搜索集合外
  l=mid+1
  r=mid

(l,r) 开区间

#判断条件，终止时：l+1=r,而边界就在l右侧之间（即l,r中间），如右侧为满足条件，则[r:]均满足条件
while(l+1<r):
  #l,r取值，取值时是不符合条件的一侧；确定不符合条件，排除搜索集合外
  l=mid
  r=mid

bisect示例代码

区间选择[l,r),因为是插入，可选位置为[0,n]

#a:int[]  x:int
# 查找第一个>=x的位置
def bisect_left(a, x, lo=0, hi=None):
    if lo < 0:
        raise ValueError('lo must be non-negative')
    if hi is None:
        hi = len(a)
    while lo < hi:
        mid = (lo+hi)//2
        # Use __lt__ to match the logic in list.sort() and in heapq
        if a[mid] < x: lo = mid+1
        else: hi = mid

        #查找第一个>=x的位置,将源码改成判断条件，类似bisect_right
        #最后一步[a,a+1),mid取a,mid满足条件[a,a),mid不满足条件取[a+1,a+1),最后的lo一定是满足条件的，边界在lo的左边
        if a[mid]>=x: hi=mid  #右侧是满足条件的，如最后一步左侧不满足条件，也是能取得lo=mid+1的上一次的右侧的
        else:lo=mid+1
    #边界在lo的左侧，即[lo:]都满足条件，lo是第一个满足条件的
    return lo
## 查找第一个>x的位置
def bisect_right(a, x, lo=0, hi=None):
    if lo < 0:
        raise ValueError('lo must be non-negative')
    if hi is None:
        hi = len(a)
    while lo < hi:
        mid = (lo+hi)//2
        # Use __lt__ to match the logic in list.sort() and in heapq
        if x < a[mid]: hi = mid  #a[mid]>x
        else: lo = mid+1
    return lo