POJ 1845 - Sumdiv

题目链接：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=27048#problem/C

数学知识：

参考：http://youyouaoshu.i.sohu.com/blog/view/87628890.htm

（1）   整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   【其中p1,p2,p3.....pi均为质数】

（2）   约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

 （S为A的所有因子之和）

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）   同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

了解了这些数学公式此题就比较简单了，还有一点需要注意：由于数据的范围很大，因此在求等比数列时要边求边取余，要不然就是用int64都会超。

解法：

1.对A进行分解为公式（1）的形式

2.S=(1+p1+p1^2+p1^3+...p1^B*k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^B*k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^B*k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^B*kn)

3.取余（在求S时，边求边取）

注：

转自：優YoU  http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1309237394

用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

 

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

 

反复平方法计算幂次式p^n

   这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

   以p=2，n=8为例

   常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

   这样做的要做8次乘法

 

   而反复平方法则不同，

   定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

   n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4     ，n取半 n=4

   n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16   ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256  ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2  ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define M 9901
#define MAX 10000
using namespace std;

int A,B,count;
int p[MAX],c[MAX];

//求解 x^n
__int64 Pow(__int64 x,__int64 n)
{
    __int64 ret=1,s=x;
    while(1)
    {
        if(n&1)
            ret=(ret%M*s%M)%M;
        if(n>>=1)
            s=(s%M*s%M)%M;
        else
            break;
    }
    return ret;
}

//求解 1+p+p^2+...+p^n 等比数列的求和
__int64 Sum(__int64 p,__int64 n)
{
    if(n==0)
        return 1;
    if(n&1)
        return ((1+Pow(p,n/2+1))%M*Sum(p,n/2)%M)%M;
    else
        return ((1+Pow(p,n/2+1))%M*Sum(p,(n-1)/2)%M+Pow(p,n/2)%M)%M;
}

int main()
{
    cin>>A>>B;
    int i;
    //将A分解成唯一p1^a1*p2^a2*...pi^ai...*pn^an
    //p[i]记录pi,c[i]记录ai
    for( i=2;i*i<=A;i++)
    {
        if(A%i==0)
        {
            p[++count]=i;
            while(A%i==0)
            {
                A/=i;
                c[count]++;
            }
        }
    }
    if(A!=1)
    {
        p[++count]=A;
        c[count]=1;
    }
    //公式：(A*B)%C=((A%C)*(B%C))%C
    __int64 res=1;
    for(i=1;i<=count;i++)
        res=(res%M*Sum(p[i],B*c[i])%M);
    //__int64无法用cout输出
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}