多元统计分析题目及答案--daniel的总结

考试侧重点：各种方法原理，实际方法的应用，各种方法之间的区别和联系，不考计算题和推导过程。

题型：简答题，5~6道题目。

以下根据每章老师讲的内容撰写题目和答案，可结合ppt进行答题。

第1章 描述统计

1、变量的分类

1. 定量变量(quantitative variable)或数值变量(metric variable)

• 可以用阿拉伯数据来记录其观察结果

• 如“企业销售额”、“上涨股票的家数”、“生活费支出”、“投掷一枚

骰子出现的点数”

• 定量变量的观察结果称为定量数据或数值型数据(metric data)

2. 分类变量(categorical variable)

• 表现为不同的类别

• 如“性别”、“企业所属的行业”、“学生所在的学院” 等

• 分类变量的观察结果就是分类数据(categorical data)

3. 顺序变量(rank variable)或有序分类变量

• 具有一定顺序的类别变量

• 如考试成绩按等级，一个人对事物的态度

• 顺序变量的观察结果就是顺序数据或有序分类数据(rank data)

4. 分类变量和顺序变量统称为定性变量(qualitative variable)

2、自变量和因变量之间的关系

因变量与自变量的关联：二者是逻辑关系，自变量是因，因变量是果，倘若二者的相互关系能够一一对应，则称之为函数关系。

自变量一词来源于数学课，在数学中，y=f（x），在这一方程中自变量是x，因变量是y。将这一方程应用到心理学的科学研究中，自变量就是指学者积极控制，而造成因变量发生变化的要素或标准，因而自变量被看作是因变量的缘故。

说的简单一点，自变量便是自身发生变化的参量，应自变量便是因为自变量发生变化而造成的变化。例如在匀速直线运动s=VT中，V不变，t时时刻刻发生变化，也即本身发生变化，t的变化造成路途s的变化，因而t是自变量，s是应自变量。

3、多元数据的描述统计

 

 

4、一元分析的描述统计量

5、多元分析的描述统计量

第2章 主成分分析和因子分析

1、主成分分析和因子分析的基本原理

主成分分析的基本原理是降维，即在损失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标。

主成分分析是采取一种数学降维的方法，找出几个综合变量来代替原来众多的变量，使这些综合变量能尽可能地代表原来变量的信息量，而且彼此之间互不相关。这种将把多个变量化为少数几个互相无关的综合变量的统计分析方法就叫做主成分分析或主分量分析。

主成分分析所要做的就是设法将原来众多具有一定相关性的变量，重新组合为一组新的相互无关的综合变量来代替原来变量。通常，数学上的处理方法就是将原来的变量做线性组合，作为新的综合变量，但是这种组合如果不加以限制，则可以有很多，应该如何选择呢。如果将选取的第一个线性组合即第一个综合变量记为F1，自然希望它尽可能多地反映原来变量的信息，这里“信息”用方差来测量，即希望Var(F1) 越大，表示F1包含的信息越多。因此在所有的线性组合中所选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p 个变量的信息，再考虑选取F2即第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1,F2) = 0 ，称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、四……第 p 个主成分。

 

因子分析的基本原理也是降维。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个“抽象”的变量来表示其基本的数据结构。这几个抽象的变量被称作“因子”，能反映原来众多变量的主要信息。因子之间互不相关，它们所综合的信息互相不重叠。原始的变量是可观测的显在变量，而因子一般是不可观测的潜在变量。因子分析就是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计方法。常用的因子分析类型是R型因子分析和Q型因子分析。R型因子分析是对变量作因子分析，Q型因子分析时对样品作因子分析。

因子分析法的核心是对若干综合指标进行因子分析并提取公共因子，再以每个因子的方差贡献率作为权数与该因子的得分乘数之和构造得分函数。

 

2、主成分分析和因子分析的异同

方案1：

方案2:

主成分分析和因子分析的联系：

因子分析与主成分分析类似，都是要找到少数几个新的变量来代替原始变量。

因子分析可以看作是主成分分析的推广和扩展，而主成分分析则可以看作是因子分析的一个特例。

 

主成分分析和因子分析的区别：

（1）因子分析从数据中探查能对变量起解释作用的公共因子和特殊因子，而主成分分析只是空间生成的角度寻找能解释诸多变量变异绝大部分的几组彼此不相关的新变量；

（2）因子分析是把变量表示成各因子线性组合，而主成分分析则是把主成分表示成变量的线性组合；

（3）因子分析需要假设各个公共因子与各个特殊因子不相关，而主成分分析不需要假设；

（4）因子分析抽取因子的方法不仅仅有主成分法，还有极大似然法等，而主成分分析只能由主成分法抽取；

（5）因子分析的因子不固定，可以旋转得到不同的因子，而主成分分析中，当给定协方差阵或者相关矩阵的特征值唯一时，主成分一般都是固定的；

（6）因子分析中，因子的个数需要分析者指定，指定不同，结果不同，而主成分分析中，一般由几个变量就有几个主成分。

方案3:

方案4:

3、主成分分析和因子分析的数学模型

4、用主成分分析和因子分析对实际问题进行综合评价

查看ppt的第2章中的例题讲解

5、简述主成分分析中累积贡献率的具体含义

6、简述主成分分析中求得的主成分的一般性质

7、进行因子分析时，为什么要进行因子旋转？最大方差因子旋转的基本思路是什么？

8、主成分分析的基本步骤有哪些？

9、因子分析的基本步骤有哪些？

10、什么是主成分？如何选择和解释主成分？

 

11、主成分分析和因子分析是为了解决哪些问题？

在研究实际问题时，往往需要收集多个变量。但这样会使多个变量间存在较强的相关关系，即这些变量间存在较多的信息重复，直接利用它们进行分析，不但模型复杂，还会因为变量间存在多重共线性而引起较大的误差。

为能够充分利用数据，通常希望用较少的新变量代替原来较多的旧变量，同时要求这些新变量尽可能反映原变量的信息，可以使用主成分分析和因子分子解决这类问题。它们能够提取信息，使变量简化降维，从而使问题更加简单直观 。

 

第3章 聚类分析

1、聚类分析的基本思想是什么？

 聚类分析的基本思想是按照对象之间的“相似”程度进行分类。聚类分析的“对象”可以是所观察的多个样本，也可以是针对每个样本测得的多个变量。通常聚类分析分为Q型聚类和R型聚类。Q型聚类是对样本进行分类处理，R型聚类是对变量进行分类处理。

（1）Q型聚类可以用距离来测度样本之间的相似程度。可以使用“点间距离"来度量样本间的相似性，如：欧氏距离、平方欧氏距离（最常用）、Block欧氏距离、Chebychev距离、明氏距离、闵可夫斯基距离、马氏距离或者兰氏距离等可以用来测度样本之间的相似程度。

（2）R型聚类可以用相似系数测度变量之间的相似程度。多元数据中的变量表现为向量形式，在几何上可用多维空间中的一个有向线段表示。在对多元数据进行分析时，相对于数据的大小，我们更对变量的变化趋势或者方向感兴趣。因此，变量间的相似性，我们可以从它们的方向趋同性或“相关性”进行考察，从而得到“夹角余弦法”和“相关系数”两种度量方法。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、层次聚类/系统聚类的基本过程是什么？进行系统聚类时，不同的类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？

层次聚类

层次聚类的基本思想是距离相近的样品先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品总能聚到合适的类中。

层次聚类又称系统聚类，事先不确定要分多少类，而是先把每一个对象作为一类，然后一层一层进行分类。根据运算的方向不同，层次聚类又分为合并法和分解法，两种方法的运算原理一样，只是方向相反。

在层次聚类法中，当类别多于1个时，就涉及到如何定义两个类别之间的距离问题，由类间距离定义的不同产生了不同的系统聚类法。实际中较常用的是离差平方和（Ward`s method），又称Ward法。

 

3、K-均值聚类的基本过程是什么？

3、解释聚类的结果

看ppt和课本

4、层次聚类和K-均值聚类的差异及应用条件

层次聚类和K-均值聚类的应用可看ppt

5、聚类分析的注意事项

6、判别分析和聚类分析的区别与联系

聚类分析不知道任何样本类别，属于非监督学习；

判别分析知道训练样本的类别，属于监督学习。

 

第4章 方差分析

1、什么是方差分析，它研究的是什么？方差分析的基本思想和原理是什么？

（1）方差分析的定义：通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。

（2）方差分析研究的内容：表面上看，方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计方法，但本质上它所研究的是分类型自变量对数值型因变量的影响，例如，变量之间有没有关系、关系的强度如何等。

（3）方差分析的基本思想是通过对数据误差来源的分析来判断不同总体的均值是否相等，进而分析自变量对因变量是否有显著影响。

2、要检验多个总体均值是否相等时，为什么不作两两比较，而用方差分析方法？

3、方差分析包括哪些类型？它们有什么区别？

（1）方差分析包括的类型：根据所分析的分类自变量的多少，方差分析可分为单因素方差分析和双因素方差分析。

（2）区别

①单因素方差分析研究的是一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响；

②双因素方差分析研究的是两个分类变量对数值型因变量的影响。

4、方差分析的基本假定有哪些？

5、解释因子和处理的含义

在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子。

因素的不同表现称为水平或处理。每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。

6、解释总误差、组内误差和组间误差的含义

（1）组内误差：由于抽样的随机性所造成的随机误差，这种来自水平内部的数据误差称为组内误差。

反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，也称为误差平方和或残差平方和，记为SSE。例如：每个样本内部的数据平方和加在一起就是组内平方和，它反映了每个样本内各观测值值得离散情况。

（2）组间误差：来自不同水平之间的数据误差称为组间误差，这种差异可能是由于抽样本身形成的随机误差，也可能是由于行业本身的系统性因素造成的系统误差。因此，组间误差是随机误差和系统误差的总和。

反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，也称为因素平方和，记为SSA。例如：四个行业被投诉的次数之间的误差平方和就是组间平方和，它反映了样本均值之间的差异程度。组件误差既包括随机误差，也包括系统误差。

（3）总误差：全部观测数据的误差称为总误差。总误差被分解成组内误差和组间误差两部分。SST = SSE + SSA

反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST。例如：所抽取的全部23家企业被投诉次数之间的误差平方和就是总平方和，它反映了全部观测值的离散状况。

7、解释组内方差和组间方差的含义

组内方差和组间方差的含义分别为：

（1）组内方差：组内平方和SSE的均方称为组内均方或组内方差，记为MSE，其计算公式为：

MSE=组内平方和/自由度=SSE/（n-k）

（2）组间方差：组间平方和SSA的均方称为组间均方或组间方差，记为MSA，其计算公式为：

MSA=组间平方和自由度=SSA/（k-1）

8、为什么要将各误差平方和进行平均？

由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，也就是用各平方和除以它们所对应的自由度，这一结果称为军方，也称为方差。

三个平方和所需要的自由度分别为：

SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数；

SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平（总体）的个数；

SSE的自由度为n-k，总体样本量 n-k 个水平。

9、简述方差分析的基本步骤

（1）提出假设

（2）构造检验统计量F

（3）统计决策

方差分析中的F检验是右单侧校验，

若F值>F_∂，则拒绝原假设H₀，表明自变量对因变量影响是显著的；

若F值<F_∂，则不拒绝原假设H₀，没有证据表明自变量对因变量影响是显著的。

进行统计决策时，可以根据方差分析表中P值余显著性水平∂的值进行比较。若P>∂，则不拒绝H₀，若P<∂，则决绝H₀。

 

10、方差分析中多重比较的作用是什么？

多重比较的方法有许多，常用的是由费希尔提出的最小显著差异方法（LSD）。

11、什么是交互作用？

交互作用是指一因素对另一因素的不同水平有不同的效果。例如：对于双因素方差分析，有交互作用就是两个因素搭配在一起对因变量产生一种新的效应。

12、解释无交互作用和有交互作用的双因素方差分析

（1）无交互作用的双因素方差分析：如果两个自变量因素对因变量的影响是相互独立的，需分别判断两个自变量因素对因变量的影响情况，称为无交互作用的双因素方差分析。

（2）有交互作用的双因素方差分析：如果除了两个自变量因素对因变量的单独影响外，两个因素的搭配还会对因变量产生一种新的效应，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析。

13、解释R²的含义和作用

不同类型的方差分析中R²的含义和作用分别为：

（1）单因素方差分析中，R²表示组间平方和（SSA）占总平方和（SST）的比例，其平方根R反映了两个变量之间的关系强度。

（2）双因素方差分析中，行平方和与列平方和加在一起度量了两个自变量对因变量的联合效应，联合效应与总平方和的比值定义为R²，其平方根R则反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度。

第5章 多元线性回归

1、 解释多元线性回归模型、多元回归方程、估计的多元回归方程的含义

2、回归方程的拟合优度与显著性检验

多元性回归模型与一元线性回归模型一样，在得到参数的最小二乘法的估计值之后，也需要进行必要的检验与评价，以决定模型是否可以应用。 

回归方程的拟合优度可以根据多重判定系数和估计标准误差来进行判断。

如果是单一模型，“多重判定系数”更能说明回归方程拟合强弱；

如果涉及多个模型，“估计标准误差”更能说明回归方程拟合强弱；

（1）多重判定系数

（2）估计标准误差

 

多元回归方程的显著性检验包括显示关系检验（F检验）和回归系数的检验（t检验）

3、多重共线问题及其处理

4、利用回归方程进行预测

看PPT

5、哑变量的回归

哑变量也称虚拟变量。

6、多元线性回归模型中有哪些假定？

正态性；方差齐性；独立性。

7、解释多重判定系数和调整的多重判定系数的含义和作用

8、解释多重共线性的含义

9、多重共线性对回归分析有哪些影响？

10、多重共线性的判别方法主要有哪些？

11、多重共线性的处理办法有哪些？

12、在多元线性回归中，选择自变量的方法有哪些？

（1）为什么要进行变量选择？

为了避免多重共线性等问题。

（2）选择变量的原则有哪些？

残差平方和（SSE）原则（使其变小）；

赤池信息量（AIC）原则（使其变小）。

（3）选择变量的方法：向前选择，向后选择，逐步回归，最优子集。

13、参数的最小二乘估计法是什么？有哪些优良的性质？

 

14、多重相关系数是什么？

 

第6章 含定性变量的回归模型

1、因变量是定性变量的回归模型是什么？有什么特殊问题？回归方程有什么限制？

2、Logistic（逻辑斯蒂）回归是什么？

 

 

3、多类别的Logistic回归是什么？

4、因变量是顺序变量的回归

ppt未讲

 

第7章 判别分析

1、简述判别分析的实质是什么？

2、简述欧几里得距离与马氏距离的区别与联系

3、简述距离判别法的基本思想和方法

4、简述贝叶斯判别法的基本思想和方法

 

5、简述费希尔判别法的基本思想和方法

6、试分析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同