Sedgewick Algorithms第一课

Union and find

给定N个object，M个整数对(p,q),其意为p，q连接在一起。那么再给定(x,y)，判断x，y是否连接。

解答：

纵观题意，有两个重要操作。

1.给定p,q，将其连接在一起。union(p,q).

2.判断p,q是否已经连接在一起。isconnected(p,q).

 

由以上思路，发展出以下几种算法：

1.快速查找算法(查找即判断是否连接)

此算法查找效率高，为O(1)复杂度。

算法思路：

使用数组存储N个object，标号从1到N。

union操作：当输入p，q时，将数组里所有标号为p的object改为q。

find操作：直接判断数组里p和q的标号是否相等。

此算法缺陷为：每一对p,q的union操作，其复杂度都需要O(n).如果n对(p,q),其复杂度就达到了O(N^2).效率低。

 

2.快速并集算法

算法思路：

同样使用数组存储N个object，标号1到N。数组一开始为一个有N棵树的一个森林，每棵树只有根节点。

union操作：当读入p，q时，将p对应的树设为q对应的树的子树。也就是说root(p)指向root(q)。

find操作：判断p和q对应的树的根是否相同。

此算法缺陷为：特殊情况下，数组里可能只形成了一棵深度为N的树。这样其查找效率就为O(N)，union也为O(N)。为了避免形成这种一竖串形状的树，要改进形成树的union操作。

改进1：

union操作：当读入p，q时，判断p树和q树的大小，将小的树设为大的树的子树。

为了达到这个目的，另外维护一个sz[]数组，存储当前树中有多少个元素。

改进2：路径压缩

在将小的树设为大的树的子树时，需要定位两棵树的root。考察由p定位root(p)的过程，可以发现，如果已经由p定位到了root(p)，那么可以将p直接指向root(p)，而不再需要经过中间节点。这也降低了树的高度。由于过程为p…->…->…->root(p), 变为p->root(p)，所以称为路径压缩。