柯西公式配套习题

柯西公式配套习题

柯西公式 $$f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_l\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi$$
柯西公式有什么用处？回答这个问题之前，我们将上式进行改写
$${\oint }_l\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi =2\pi if(z)$$这意味着除了柯西定理外，我们又拥有一种计算回路积分的方法。在使用中，我们只需要在被积函数中分离出 $f(z)$以及点 $z$，就可以只计算函数值而避免复杂的回路积分

1. 计算：${\oint }_l\frac{e^z}{z(z^2+1)}dz$，其中$l$为圆$|z-i|=\frac{1}{2}$
   分析：在区域内存在奇点，结合柯西公式的一般形式
   解：$$g(z)=\frac{e^z}{z(z^2+1)}$$