单正态总体的样本均值和样本方差的分布

首先，假定$(X_1,X_2,X_3,...,X_n)$为总体$X(\mu ,{\delta }^2)$的一个样本

• 样本均值的分布
  $\bar{X}\sim (\mu ,\frac{{\delta }^2}{n})$，或者$\frac{\bar{X}-\mu }{\delta /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
  ${\chi }^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu )}{{\delta }^2}\sim {\chi }^2(n)$
• 样本期望的分布
  ${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\delta }^2}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X})}{{\delta }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
  $T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$