电磁场与电磁波-1-矢量微分

矢量微分

• 事先说明
• 三种坐标系下的矢量的微分
• • 直角坐标系
  • 柱坐标系
  • 球坐标系

事先说明

在进行矢量微积分前，请务必明确两点：什么是‘常矢’、‘变矢’？矢量函数求偏导的法则有哪些？

鉴于文章篇幅，我们并不打算将以上两点一一解释清楚，代之请读者事先阅读相关文献

三种坐标系下的矢量的微分

直角坐标系

• 直角坐标系的单位坐标矢量均为常矢，所以若对其进行求(偏)导，结果均为0
• 因此我们可做以下推导，假设矢量为$E=E_x{e}_x+E_y{e}_y+E_z{e}_z$，对$x$求偏导$$\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{\partial E_x}{\partial x}{e}_x+\frac{\partial E_y}{\partial x}{e}_y+\frac{\partial E_z}{\partial x}{e}_z$$

柱坐标系

• 柱坐标系只有$e_z$为常矢，其它两个坐标变量为变矢。尽管如此，对变矢求(偏)导仍可能得到0结果(例如对$e_{\rho }$求$z$的偏导结果为零，这是因为$e_{\rho }$不随z的变化而变化)
• 为了解决上述问题，我们提出一个方法：利用柱坐标与直角坐标的关系进行转换（当然，在最后不可以引入诸如$x,y$这样的无关变量）
• 下面给出一个具体案例：假设矢量为$E=E_{\rho }{e}_{\rho }+E_{\phi }{e}_{\phi }+E_z{e}_z$，对$\phi$求偏导

首先，列写关系式$$e_{\rho }=e_{x}cos\phi +e_{y}sin\phi$$$$e_{\phi }=-e_{x}sin\phi +e_{y}cos\phi$$
对上两式求$\phi$的偏导$$\frac{\partial e_{\rho }}{\partial \phi }=-e_{x}sin\phi +e_{y}cos\phi =e_{\phi }$$$$\frac{\partial e_{\phi }}{\partial \phi }=-e_{x}cos\phi -e_{y}sin\phi =-e_{\rho }$$
对矢量求$\phi$的偏导$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E}{\partial \phi }& =(\frac{\partial E_{\rho }}{\partial \phi }{e}_{\rho }+E_{\rho }\frac{\partial e_{\rho }}{\partial \phi })+(\frac{\partial E_{\phi }}{\partial \phi }{e}_{\phi }+E_{\phi }\frac{\partial e_{\phi }}{\partial \phi })+\frac{\partial E_z}{\partial \phi }{e}_z\\ & =(\frac{\partial E_{\rho }}{\partial \phi }{e}_{\rho }+E_{\rho }{e}_{\phi })+(\frac{\partial E_{\phi }}{\partial \phi }{e}_{\phi }-E_{\phi }{e}_{\rho })+\frac{\partial E_z}{\partial \phi }{e}_z\\ & =(\frac{\partial E_{\rho }}{\partial \phi }-E_{\phi })e_{\rho }+(\frac{\partial E_{\phi }}{\partial \phi }+E_{\rho })e_{\phi }+\frac{\partial E_z}{\partial \phi }{e}_z\end{array}$$

球坐标系

对于球坐标系，三个坐标矢量均为变矢，处理办法相同，可参照柱坐标系的转化