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错排公式

Posted on 2010-11-22 22:37  桃子在路上  阅读(842)  评论(0编辑  收藏  举报

编号为 1 , 2 ,……, n 的 n 
个元素排成一列,若每个元素所处位置的序号都与它的编号不同,则称这个排列为 n 
个不同元素的一个错排。记 n 个不同元素的错排总数为 f(n) ,则

f(n) = n![1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!]( 1 )

本文从另一角度对这个问题进行一点讨论。

1. 一个简单的递推公式

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成:

第一步,“错排” 1 号元素(将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一),有 n - 1 
种方法。

第二步,“错排”其余 n - 1 个元素,按如下顺序进行。视第一步的结果,若 1 
号元素落在第 k 个位置,第二步就先把 k 号元素“错排”好, k 
号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生:( 1 ) k 号元素排在第 1 
个位置,留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”,有 f(n -2) 
种方法;( 2 ) k 号元素不排第 1 个位置,这时可将第 1 个位置“看成”第 k 
个位置,于是形成(包括 k 号元素在内的) n - 1 个元素的“错排”,有 f(n - 1) 
种方法。据加法原理,完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。

根据乘法原理, n 个不同元素的错排种数

f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。

 

当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.  第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;  第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;  综上得到  M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]  特殊地,M(1)=0,M(2)=1