线性查找法02：循环不变量和算法复杂度

循环不变量

public static<E> int search(E[] arr, E target){
    
    /**
     * 循环不变量，就是在循环中始终遵守的原则
     * 因为在arr[0...i-1]中没有找到目标，所以才继续循环
     * 这个arr[0...i-1]就是循环不变量，在写循环时一定要清楚循环不变量是什么
     */
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        
        /**
     	 * 循环体就是为了维持循环不变量，证明算法的正确性
    	 */
        if (target == arr[i]) {
            return i;
        }
    }
    
    return -1;
}

算法复杂度

n表示数据规模，O(f(n))表示运行算法所需要执行的指令数，和f(n)成正比

复杂度描述的是随着数据规模n的增大，算法性能的变化趋势，在复杂度分析中，常数不重要一般忽略

线性查找法的复杂度是O(n)

T1	10000n	O(n)
T2	2n^2	O(n^2)
	当n > 5000，T2复杂度大于T1，且n越大，差距越大

常见的时间复杂度

/**
 * 遍历一个n*n的二维数组，n指维度，复杂度是O(n^2)
 */
for (int i = 0; i < n; i++){
    
    for (int j = 0; j < n; j++){
        return arr[i][j];
    }
}

/**
 * 遍历一个a*a的二维数组，其中a*a=n，n指元素总数，复杂度是O(n)
 * 因此一定要清楚n到底指的是谁
 */
for (int i = 0; i < a; i++){
    
    for (int j = 0; j < a; j++){
        System.out.println(arr[i][j]);
    }
}

/**
 * 输出数字num的二进制位数，n和要计算的次数有关，每计算一次，规模减半，复杂度是O(logn)
 * 对log函数而言，底数不同相差的是常数，因此忽略底数
 */
while (num){
    
    System.out.println(num % 2);
    num /= 2;
}

/**
 * 输出数字num的约数，约数是成对出现的，只要循环到根号num就可以拿到所有约数，因此n指根号num
 * 复杂度是O(sqrt{n})
 */
for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
    
    if (n % i == 0){
        
        System.out.println(i);
        System.out.println(n / i);
    }
}

/**
 * 输出长度为n的二进制数字，每增加一个长度，规模翻倍，复杂度是O(2^n)
 */

/**
 * 输出长度为n的数组的全排列，复杂度是O(n!)
 */

/**
 * 判断数字n是否是偶数，只用执行常数量级的语句，复杂度是O(1)
 */

总结：O(1) < O(logn) < O(sqrt(n)) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)

一个时间复杂度的问题

有一个字符串数组，将数组中的每一个字符串按照字母序排序；之后再将整个字符串数组按照字典序排序，这个过程的时间复杂度是多少？

每个字符串的长度和字符串数组的长度没有联系，需要分开计算

假设最长的字符串长度为s，数组的长度为n

则对每个字符串排序的复杂度为O(slogs)，总共为O(nslogs)

而对整个字符串数组排序时，比较两个字符串的顺序，复杂度为O(s)而不是O(1)，总共为O(snlogn)

故整个过程的时间复杂度为O(nslogns)

特殊用例下的时间复杂度

插入排序法时间复杂度为O(n^2)，快速排序法时间复杂度为O(nlogn)

但是当测试用例完全有序时，插入排序法会升为O(n)，而快速排序法会降为O(n^2)

数据规模的概念

对于一个O(n)级别的算法，在不同数据规模下运行耗费的时间，如果想要在1s之内完成运算，O(n)算法的规模大概为10^8

O(nlogn)算法的规模大概为10^7

而O(n^2)算法的规模只能有10000

因此可以根据数据规模的要求，选择设计复杂度不同的算法

数据规模	消耗时间
10^3	2.5e-06 s
10^4	2.5e-05 s
10^5	0.00025 s
10^6	0.0025 s
10^7	0.025 s
10^8	0.25 s
10^9	2.5 s

public class Algorithm {

    public static void main(String[] args) {

        long start = System.nanoTime();
        int sum = 0;

        for (int i = 0; i < 1000000000; i++) {
            sum += i;
        }

        long end = System.nanoTime();

        System.out.println((end - start) / 1000000000.0 + "s");
    }
}

测试线性查找算法性能

public class Algorithm {

    public static void main(String[] args) {

        Integer n = 10000000;
        Integer[] arr = ArrayGenerator.generatorArray(n);
        Integer target = n;

        /**
         * System.nanoTime()方法打印时间戳
         */
        long startTime = System.nanoTime();

        /**
         * 循环多次测试时间性能，比一次性测试更稳定，结果也更真实
         */
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            LinerSearch.search(arr, target);
        }

        long endTime = System.nanoTime();
        System.out.println((endTime - startTime) / 1000000000.0 + "秒");
    }
}

class LinerSearch {

    private LinerSearch(){}

    public static<E> int search(E[] arr, E target){
        
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            
            if (arr[i].equals(target)) {
                return i;
            }
        }
        
        return -1;
    }
}

/**
 * 创建一个根据n生成数组的类
 */
class ArrayGenerator {
    
    private ArrayGenerator(){}

    public static Integer[] generatorArray(Integer n){

        Integer[] arr = new Integer[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = i;
        }
        
        return arr;
    }
}