举例理解欧拉筛法

欧拉筛法的基本思想

在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小的质因子筛选一次,以达到不重复的目的。本算法的关键就在于让每个合数只被它的最小的质因子筛选一次，记住这句话，后面会解释。

 

/*求小于等于n的素数的个数*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n, cnt = 0;
    int prime[100001];//存素数 
    bool vis[100001];//保证不做素数的倍数，被筛掉就使其等于1
    scanf("%d", &n);
    memset(vis, false, sizeof(vis));//初始化 
    memset(prime, 0, sizeof(prime));
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(!vis[i])//没被筛到，所以i是素数
        prime[cnt++] = i;//将i加入
        for(int j = 0; j<cnt && i*prime[j]<=n; j++)
        {
            vis[i*prime[j]] = true;//找到的素数的倍数不访问 
            if(i % prime[j] == 0) break;//关键一步！下有说明
        }
    }
    printf("%d\n", cnt);
    return 0;
}

对于visit[i*prime[j]] = 1 的理解

对每个从小到大遍历到的i，让他乘上之前已经找到的素数，将每个得到的积筛掉

对于关键一步的理解

 if(i % prime[j] == 0) break;

我们以当i=8,j=1时的情况为例（自己动手在草稿纸上跟着写一遍）：

1. 此时prime[j]=2,prime[j+1]=3;
2. 此时将 i * prime[j]= 8 * 2 =16 筛去（16=2*8=4*4，此时16被他最小的质因子2筛去）
3. 然后发现 i % prime[j]==0，因为8=2*4，如果此时不跳出循环，下一步应筛去8*prime[j+1] = 8 * 3 = 24
4. 而24的最小质因子是2，再考察上一步，发现8 * prime[j+1] = 8 * 3=2 * 4 * 3 = 4 * 3 * 2=12 * prime[j],也就是说如果此时将24筛去，当i增加至12时，24将被2再次筛选，
5. 我们可以总结如下：当i%prime[j]==0时，有 i = prime[j] * k ,即 prime[j] * k *prime[j+1] 应当在在 i = k *prime[j+1] 时由prime[j]筛去，所以当发现当i%prime[j]==0时break,保证了每个合数只被它的最小的质因子筛选一次。